[论文解读] Projective Crystalline Representations of Étale Fundamental Groups and Twisted Periodic Higgs-de Rham Flow

Ruiran Sun, Jinbang Yang+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 5, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文引入了投影晶体表示与扭曲周期 Higgs-de Rham 流，通过扭曲 Fontaine-Faltings 模建立其范畴之间的等价关系。证明了在 $\bbP^1$ 上带有 $n /geq 4$ 个标记点的稳定周期 Higgs 线丛诱导出几何上绝对不可约的 $\m PGL_2(\bbZ_p^{\m ur})$-晶体表示，并给出了四点情形下的显式自同态公式，且猜想其与关联椭圆曲线上的挠点存在联系。

ABSTRACT

This paper contains three new results. {\bf 1}.We introduce new notions of projective crystalline representations and twisted periodic Higgs-de Rham flows. These new notions generalize crystalline representations of étale fundamental groups introduced in [7,10] and periodic Higgs-de Rham flows introduced in [19]. We establish an equivalence between the categories of projective crystalline representations and twisted periodic Higgs-de Rham flows via the category of twisted Fontaine-Faltings module which is also introduced in this paper. {\bf 2.}We study the base change of these objects over very ramified valuation rings and show that a stable periodic Higgs bundle gives rise to a geometrically absolutely irreducible crystalline representation. {\bf 3.} We investigate the dynamic of self-maps induced by the Higgs-de Rham flow on the moduli spaces of rank-2 stable Higgs bundles of degree 1 on $\mathbb{P}^1$ with logarithmic structure on marked points $D:=\{x_1,\,...,x_n\}$ for $n\geq 4$ and construct infinitely many geometrically absolutely irreducible $\mathrm{PGL_2}(\mathbb Z_p^{\mathrm{ur}})$-crystalline representations of $π_1^ ext{et}(\mathbb{P}^1_{\mathbb{Q}_p^ ext{ur}}\setminus D)$. We find an explicit formula of the self-map for the case $\{0,\,1,\,\infty,\,λ\}$ and conjecture that a Higgs bundle is periodic if and only if the zero of the Higgs field is the image of a torsion point in the associated elliptic curve $\mathcal{C}_λ$ defined by $ y^2=x(x-1)(x-λ)$ with the order coprime to $p$.

研究动机与目标

• 将晶体表示与周期 Higgs-de Rham 流推广，通过引入投影晶体表示与扭曲周期 Higgs-de Rham 流。
• 通过新的扭曲 Fontaine-Faltings 模范畴，建立投影晶体表示范畴与扭曲周期 Higgs-de Rham 流范畴之间的等价关系。
• 研究这些对象在高度分歧的赋值环上的基变换，并证明稳定周期 Higgs 线丛可诱导出几何上绝对不可约的晶体表示。
• 分析 $\bbP^1$ 上带对数结构的秩-2 稳定 Higgs 线丛模空间上 Higgs-de Rham 流自同态的动力行为，标记点数为 $n /geq 4$。
• 构造 $\bbP^1_{\bbQ_p^{\rm ur}}$ 去掉 $n$ 个点的 étale 基本群的无穷多个几何上绝对不可约 $\rm PGL_2(\bbZ_p^{\rm ur})$-晶体表示。

提出的方法

• 引入带有自同态结构的扭曲 Fontaine-Faltings 模作为晶体表示与 Higgs-de Rham 流之间的桥梁。
• 将投影晶体表示定义为具有相容 Frobenius 与过滤结构的表示的投影系统。
• 通过在过滤 de Rham 线丛上迭代应用逆 Cartier 函子与分次函子，构造扭曲周期 Higgs-de Rham 流。
• 利用逆 Cartier 函子与 Frobenius 拉回，将 Higgs 线丛与 de Rham 线丛关联，从而实现模空间上自同态的构造。
• 应用 $\bbZ_p^{\rm ur}$-线性结构与在高度分歧赋值环上的基变换，以提升并稳定流结构。
• 基于挠点猜想，推导出 $\bbP^1$ 上带四点标记 $\big\bracevert 0,1,\frown,\frown\big\bracevert$ 的秩-2 Higgs 线丛模空间上自同态的显式公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 étale 基本群的晶体表示推广，以包含投影结构与扭曲周期性？
• RQ2 投影晶体表示与扭曲周期 Higgs-de Rham 流之间的精确范畴等价关系是什么？
• RQ3 在 $\bbP^1$ 上带有对数结构的稳定周期 Higgs 线丛在何种条件下可诱导出几何上绝对不可约的晶体表示？
• RQ4 在 $\bbP^1$ 上带 $n /geq 4$ 个标记点的秩-2 稳定 Higgs 线丛（度数为 1）模空间上，Higgs-de Rham 流自同态的动力行为如何？
• RQ5 Higgs 线丛是否当且仅当其 Higgs 场的零点是关联椭圆曲线 $y^2 = x(x-1)(x-\frown)$ 上阶与 $p$ 互素的挠点时为周期性？

主要发现

• 通过扭曲 Fontaine-Faltings 模范畴，投影晶体表示的范畴与扭曲周期 Higgs-de Rham 流的范畴等价。
• 在 $\bbP^1$ 上带有 $n /geq 4$ 个标记点的稳定周期 Higgs 线丛诱导出 $\rm Gal(\bar{\bbQ}_p^{\rm ur}/\bbQ_p^{\rm ur})$ 的几何上绝对不可约晶体表示。
• 在四点情形 $\big\bracevert 0,1,\frown,\frown\big\bracevert$ 下，推导出 Higgs-de Rham 自同态在模空间上的显式公式。
• 本文构造了无穷多个 $\bbpi_1^{{\text{ét}}}(bP^1_{\bbQ_p^{\rm ur}} \backslash D)$ 的几何上绝对不可约 $\rm PGL_2(\bbZ_p^{\rm ur})$-晶体表示，其中 $D = \big\bracevert x_1,\frown,\frown\big\bracevert$。
• 作者猜想：Higgs 线丛是周期性的当且仅当其 Higgs 场的零点是关联椭圆曲线 $\frown_\frown$ 上阶与 $p$ 互素的挠点的像。
• 在 $\bbP^1$ 上带对数结构的秩-2 稳定 Higgs 线丛（度数为 1）模空间上，自同态被证明是 Frobenius 半线性且在四点情形下可显式计算。