[论文解读] Semistable modules over Lie algebroids in positive characteristic

Adrián Langer|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用 24

一句话总结

该论文在正特征下建立了李代数胚模的模空间的Langton型定理，推广了Simpson对gr-半稳定的Griffiths横截滤子的构造。证明了在正特征下可提升流形上的半稳定Hodge层系是强半稳定的，从而对所有秩数证实了Lan-Sheng-Zuo的猜想。

ABSTRACT

We study Lie algebroids in positive characteristic and moduli spaces of their modules. In particular, we show a Langton's type theorem for the corresponding moduli spaces. We relate Langton's construction to Simpson's construction of gr-semistable Griffiths transverse filtration. We use it to prove a recent conjecture of Lan-Sheng-Zuo that semistable systems of Hodge sheaves on liftable varieties in positive characteristic are strongly semistable.

研究动机与目标

• 开发正特征下李代数胚模的相对模空间的通用框架。
• 将Langton关于半稳定退化问题的定理推广至李代数胚模的设定。
• 将Simpson对gr-半稳定Griffiths横截滤子的归纳构造与Rees构造联系起来，确保其终止性。
• 证明Lan-Sheng-Zuo的猜想：在正特征下可提升流形上的半稳定Hodge层系是强半稳定的。
• 在李代数胚模上建立一个典范的gr-半稳定Griffiths横截滤子，其在幂零性条件下蕴含强半稳定性。

提出的方法

• 引入受限李代数胚以推广Ekedahl的1-叶状结构，并为它们上的模定义$p$-曲率映射。
• 通过Rees构造，将模空间上的$p$-曲率态射的形变构造为Hitchin态射。
• 将Langton型定理应用于李代数胚模的模空间，确保半稳定极限的存在性。
• 使用Simpson对gr-半稳定Griffiths横截滤子的归纳构造，并与Rees构造比较，以证明其终止性。
• 利用逆Cartier变换$C_{{\rm \tilde{X}/S}}^{-1}$，将具有幂零$p$-曲率的Higgs模与联络联系起来。
• 应用$p$-曲率幂零联络与Higgs模之间的范畴等价（Ogus-Vologodsky），实现半稳定性转移。

实验结果

研究问题

• RQ1 在正特征下，李代数胚模的模空间是否具有Langton型定理？
• RQ2 Simpson对gr-半稳定Griffiths横截滤子的归纳构造能否通过Rees构造证明其终止性？
• RQ3 在正特征下可提升流形上的半稳定Hodge层系是否为强半稳定？
• RQ4 李代数胚模上是否存在一个典范的gr-半稳定Griffiths横截滤子，其在幂零性条件下是否蕴含强半稳定性？
• RQ5 在具有幂零$p$-曲率的Higgs模与联络的背景下，逆Cartier变换如何与半稳定性相互作用？

主要发现

• 在正特征下，为李代数胚模的模空间建立了Langton型定理，确保在退化过程中半稳定极限存在。
• 通过Simpson方法的gr-半稳定Griffiths横截滤子归纳构造被证明具有终止性，从而确认其有效性。
• 在李代数胚模上构造了典范的gr-半稳定Griffiths横截滤子，为半稳定性分析提供了统一框架。
• 证明了Lan-Sheng-Zuo的猜想：在正特征下可提升流形上的半稳定Hodge层系是强半稳定的，对所有秩数均成立。
• 逆Cartier变换$C_{{\rm \tilde{X}/S}}^{-1}$保持了Higgs模与$p$-曲率幂零且阶数$\leq p-1$的联络之间的斜率半稳定性。
• 利用$p$-曲率幂零联络与Higgs模之间的范畴等价（Ogus-Vologodsky），实现了半稳定性转移，从而得出主要结果。