[论文解读] Projective dimension of (hyper)graphs and the Castelnuovo-Mumford regularity of bipartite graphs

Türker Bı́yı́koğlu, Yusuf Civan|arXiv (Cornell University)|May 10, 2016

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 19被引用 3

一句话总结

该论文建立了一个基本不等式，将（超）图的投影维数与其莱维图的柯斯特尔努沃-摩尔福雷吉ularity联系起来，证明了对任意超图 ℋ，有 proj-dim(ℋ) ≤ reg(ℒ(ℋ))。此外，它进一步表明，对任意图 G，存在一个诱导子图 H，使得 proj-dim(G) = reg(S(H))，其中 S(H) 是 H 的细分图，并构造了显式图族，表明许多已知的投影维数上界远非紧致。

ABSTRACT

We prove that the projective dimension of any (hyper)graph can be bounded from above by the (Castelnuovo-Mumford) regularity of its Levi graph (or incidence bipartite graph). This in particular brings the use of regularity's upper bounds on the calculation of projective dimension of (hyper)graphs. When G is just a (simple) graph, we prove that there exists an induced subgraph H of G such that prod-dim(G)=reg(S(H)), where S(H) is the subdivision graph of H. Moreover, we show that known upper bounds on prod-dim(G) involving domination parameters are in fact upper bounds to reg(S(G)).

研究动机与目标

• 探索单项理想中投影维数与正则性之间特拉伊对偶性的组合性质。
• 建立一个关于（超）图的投影维数与其莱维图正则性的普遍不等式。
• 证明涉及支配参数的已知投影维数上界实际上是对细分图正则性的上界。
• 构造显式图族，表明现有的投影维数上界并不紧致。

提出的方法

• 利用特拉伊对偶性，将投影维数与亚历山大对偶的正则性之间的关系与组合不变量联系起来。
• 定义并分析超图 ℋ 的莱维图 ℒ(ℋ)，即其关联二部图。
• 引入图 H 的细分图 S(H) 及其在将 proj-dim(H) 与 reg(S(H)) 关联中的作用。
• 定义在域 ℬk 上的投影素图，其中移除任意顶点都会严格降低投影维数。
• 应用不等式 proj-dim(G) ≤ max{proj-dim(G−N[x])+deg(x), proj-dim(G−x)+1} 以构造极值例子。
• 使用完全二部图和路径连通分支构造图族 G_a 和 H_b，以证明上界的松散性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对所有（超）图 ℋ，不等式 proj-dim(ℋ) ≤ reg(ℒ(ℋ)) 是否成立，它对投影维数计算意味着什么？
• RQ2 图 G 的投影维数能否被实现为某个诱导子图 H 的细分图的正则性？
• RQ3 支配参数（如独立数 i(G)、支配数 γ(G) 和边支配数 ε(G)）与细分图正则性及投影维数之间有何关系？
• RQ4 涉及支配参数的已知 proj-dim(G) 上界是否紧致，还是可以显著改进？
• RQ5 投影素图的结构特征是什么，如何用于构造极值例子？

主要发现

• 对任意超图 ℋ，不等式 proj-dim(ℋ) ≤ reg(ℒ(ℋ)) 成立，其中 ℒ(ℋ) 是 ℋ 的莱维图，从而可利用正则性上界来估计投影维数。
• 对任意图 G，存在一个诱导子图 H，使得 proj-dim(G) = reg(S(H))，其中 S(H) 是 H 的细分图。
• 涉及支配参数（如 |G|−γ(G)）的已知 proj-dim(G) 上界实际上是对 reg(S(G)) 的上界，而非 proj-dim(G) 的上界。
• 对每个 a ≥ 1，存在一个图 G_a，使得 |G_a|−i(G_a)+a < proj-dim(G_a) < |G_a|−γ(G_a)−a，表明这两个上界都远非紧致。
• 对每个 b ≥ 1，存在一个图 H_b，使得 |H_b|−γ(H_b)+b < proj-dim(H_b) < |H_b|−ε(H_b)−b，进一步证实了基于支配的上界松散。
• 投影素图的构造方法使得可以生成极值例子，其中已知的投影维数上界不紧致。