[论文解读] Propagation of epistemic uncertainty in queueing models with unreliable server using chaos expansions

Katia Bachi, Cédric Chauvière+2 more|arXiv (Cornell University)|May 16, 2017

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 47被引用 4

一句话总结

本文提出一种基于多项式混沌展开（PCE）的方法，用于量化和传播不可靠排队系统中认知不确定性，具体针对存在服务器中断的 M/M/1 和 M/G/1 模型。通过将平稳分布表示为正交多项式中的随机展开，该方法高效计算统计矩和 Sobol’ 敏感性指数，相较于蒙特卡洛模拟展现出更优的收敛性，并在 M/M/1/N 系统中识别出到达率 λ 是不确定性最主要的来源。

ABSTRACT

In this paper, we develop a numerical approach based on Chaos expansions to analyze the sensitivity and the propagation of epistemic uncertainty through a queueing systems with breakdowns. Here, the quantity of interest is the stationary distribution of the model, which is a function of uncertain parameters. Polynomial chaos provide an efficient alternative to more traditional Monte Carlo simulations for modelling the propagation of uncertainty arising from those parameters. Furthermore, Polynomial chaos expansion affords a natural framework for computing Sobol' indices. Such indices give reliable information on the relative importance of each uncertain entry parameters. Numerical results show the benefit of using Polynomial Chaos over standard Monte-Carlo simulations, when considering statistical moments and Sobol' indices as output quantities.

研究动机与目标

• 开发一种数值框架，用于量化因输入参数数据有限而导致的不可靠服务器排队系统中的认知不确定性。
• 分析关键参数（如到达率、中断率）的不确定性如何通过系统平稳分布传播。
• 利用 Sobol’ 指数实现高效敏感性分析，以对性能指标中参数的重要性进行排序。
• 比较多项式混沌方法与标准蒙特卡洛模拟在不确定性传播中的计算效率与准确性。
• 在两种排队模型上验证该方法：具有中断的 M/G/1/N 和具有基于阈值恢复策略的 M/M/1/N。

提出的方法

• 使用广义多项式混沌展开（PCE）在正交多项式基上，将平稳分布 πθ 表示为不确定输入参数的函数。
• 通过在积分点处求解嵌入的跳跃链方程，利用随机配置或伽辽金投影方法计算 PCE 系数。
• 直接从 PCE 系数计算平稳分布的统计矩（均值、方差、偏度、峰度）。
• 从 PCE 分解中推导 Sobol’ 指数，以量化单个及组合输入参数对输出方差的贡献。
• 通过使用大量样本的蒙特卡洛模拟验证结果，以评估收敛性和准确性。
• 在具有有限缓冲区和服务器中断的 M/M/1/N 和 M/G/1/N 队列模型上进行数值实验。

实验结果

研究问题

• RQ1 认知不确定性（如到达率、中断率）在不可靠排队系统的平稳分布中如何传播？
• RQ2 在具有服务器中断的排队系统中，哪个输入参数对平稳分布具有主导影响？
• RQ3 多项式混沌展开在计算统计矩和敏感性指数方面，相较于蒙特卡洛模拟在收敛速度和准确性上能提升多少？
• RQ4 高阶 Sobol’ 指数与一阶指数相比如何，能否反映参数交互作用的存在？
• RQ5 是否可以通过仅将最重要参数视为随机变量，其余参数固定在其均值，来准确建模系统？

主要发现

• 在基于阈值恢复的 M/M/1/N 队列中，到达率 λ 被确定为最具影响力的参数，其一阶 Sobol’ 指数显著高于其他参数。
• 高阶 Sobol’ 指数可忽略不计，表明参数交互作用对输出方差的影响极小，总指标与一阶指标非常接近。
• 当仅将 λ 视为随机变量，其余参数固定在其均值时，平稳分布的统计矩（均值、方差、偏度、峰度）与所有四个参数均为随机变量时计算的结果高度一致。
• 基于 PCE 的方法在统计矩估计中实现了显著更快的收敛速度，且结果与蒙特卡洛模拟一致，如表 13–16 所示，涵盖单参数与四参数随机情形。
• 当所有四个参数均为随机时，PCE 的方差估计值略有上升（例如，π₀₀ 的方差从 14.711×10⁻⁶ 上升至 25.338×10⁻⁶），证实了不确定性传播。
• 该方法表现出鲁棒性和高效性，各分量的峰度值接近 3（正态分布特征），表明在不确定性下输出分布稳定。