[论文解读] Proper classes and Gorensteinness in extriangulated categories

Jiangsheng Hu, Dongdong Zhang+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 26, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用 4

一句话总结

本文引入了在扩张三角范畴中 $\mathbb{E}$-三角形的恰当类概念，构建了一个新的扩张三角结构，该结构同时推广了经典范畴与三角范畴。定义了 $\xi$-Gorenstein 投射对象，并通过 Hovey 双 cotorsion 对建立了一个可接受的模型结构，推广了三角范畴与模范畴中的已知结果。

ABSTRACT

Extriangulated categories were introduced by Nakaoka and Palu as a simultaneous generalization of exact categories and triangulated categories. A notion of proper class in an extriangulated category is defined in this paper. Let $\mathcal{C}$ be an extriangulated category and $ξ$ a proper class in $\mathcal{C}$. We prove that $\mathcal{C}$ admits a new extriangulated structure. This construction gives extriangulated categories which are neither exact categories nor triangulated categories. Moreover, we introduce and study $ξ$-Gorenstein projective objects in $\mathcal{C}$ and demonstrate that $ξ$-Gorenstein projective objects share some basic properties with Gorenstein projective objects in module categories or in triangulated categories. In particular, we refine a result of Asadollahi and Salarian [Gorenstein objects in triangulated categories, J. Algebra 281(2004), 264-286]. As an application, the $ξ$-$\mathcal{G}$projective model structures on extriangulated categories are obtained.

研究动机与目标

• 在扩张三角范畴中定义并研究 $\mathbb{E}$-三角形的恰当类，推广经典范畴与三角范畴的结构。
• 在扩张三角范畴中引入 $\xi$-Gorenstein 投射对象，并探究其同调性质。
• 通过 Hovey 双 cotorsion 对在扩张三角范畴上建立一个可接受的模型结构。
• 将三角范畴与模范畴中关于 Gorenstein 投射对象的已知结果推广至更广泛的扩张三角范畴设定。

提出的方法

• 在扩张三角范畴 $\mathcal{C}$ 中定义一个 $\mathbb{E}$-三角形的恰当类 $\xi$，确保其在同构下封闭并满足正合性公理。
• 通过将原始扩张三角结构限制在 $\xi$ 上，构造一个新的扩张三角结构 $(\mathcal{C}, \mathbb{E}_\xi, \mathfrak{s}_\xi)$，并证明其满足扩张三角范畴的公理。
• 将 $\xi$-Gorenstein 投射对象定义为存在一个 $\xi$-投射展开，其各项均为 $\xi$-投射对象且位于微分映射的核中的对象。
• 证明 $\xi$-Gorenstein 投射对象满足关键同调性质，例如在某一程度之后 $\mathbb{E}_\xi$-扩张消失。
• 证明对偶 $((\mathcal{P}(\xi), \mathcal{C}), (\mathcal{GP}(\xi), \mathcal{P}^{\leq n}(\xi)))$ 构成一个 Hovey 双 cotorsion 对，从而导出一个可接受的模型结构。
• 利用有限 $\xi$-Gorenstein 投射维数与该模型结构存在的等价性，推导出主定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在扩张三角范畴中定义一个 $\mathbb{E}$-三角形的恰当类，使得由此产生的结构仍为扩张三角范畴？
• RQ2 $\xi$-Gorenstein 投射对象在扩张三角范畴中的同调性质是什么？其与经典 Gorenstein 投射对象有何关系？
• RQ3 在赋予恰当类 $\xi$ 的扩张三角范畴上，何时存在一个可接受的模型结构？
• RQ4 $\xi$-Gorenstein 投射维数与 Hovey 双 cotorsion 对及可接受模型结构的存在性之间有何关系？
• RQ5 三角范畴与模范畴中关于 Gorenstein 投射对象的结果在多大程度上可推广至扩张三角范畴的一般设定？

主要发现

• 配备恰当类 $\xi$ 的范畴 $\mathcal{C}$ 允许定义一个新的扩张三角结构 $(\mathcal{C}, \mathbb{E}_\xi, \mathfrak{s}_\xi)$，该结构既不一定是经典的，也不一定是三角的。
• $\xi$-Gorenstein 投射对象的类 $\mathcal{GP}(\xi)$ 定义良好，并与模范畴与三角范畴中的 Gorenstein 投射对象共享关键同调性质。
• 当且仅当 $\mathcal{C}$ 中所有对象的 $\xi$-Gorenstein 投射维数的上确界不超过 $n$ 时，对偶 $((\mathcal{P}(\xi), \mathcal{C}), (\mathcal{GP}(\xi), \mathcal{P}^{\leq n}(\xi)))$ 构成一个 Hovey 双 cotorsion 对。
• 当且仅当 $\sup\{\xi\text{-} \mathcal{G}{\rm pd}A \mid A \in \mathcal{C}\} \leq n$ 时，$(\mathcal{C}, \mathbb{E}_\xi, \mathfrak{s}_\xi)$ 上存在一个可接受的模型结构。
• 该结果通过将 Asadollahi 与 Salarian 在三角范畴中关于 Gorenstein 对象的定理推广至扩张三角范畴，实现了进一步细化。
• 该构造提供了一类新的扩张三角范畴，其既非经典也非三角范畴，从而扩展了相对同调代数的研究范围。