[论文解读] Proper connection numbers of complementary graphs

Fei Huang, Xueliang Li+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2015

Advanced Graph Theory Research参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文研究了图的补图的恰当连接数，建立了类似Nordhaus-Gaddum的不等式：对于连通的互补图 $G$ 和 $\overline{G}$，和 $pc(G) + pc(\overline{G})$ 满足 $4 \leq pc(G) + pc(\overline{G}) \leq n$，且上界等号成立当且仅当图是最大度为 $n-2$ 的树。该研究刻画了恰当连接数为 $n-2$ 的图，并利用此结果推导出连接数之和的紧致界。

ABSTRACT

A path $P$ in an edge-colored graph $G$ is called a proper path if no two adjacent edges of $P$ are colored the same, and $G$ is proper connected if every two vertices of $G$ are connected by a proper path in $G$. The proper connection number of a connected graph $G$, denoted by $pc(G)$, is the minimum number of colors that are needed to make $G$ proper connected. In this paper, we investigate the proper connection number of the complement of graph $G$ according to some constraints of $G$ itself. Also, we characterize the graphs on $n$ vertices that have proper connection number $n-2$. Using this result, we give a Nordhaus-Gaddum-type theorem for the proper connection number. We prove that if $G$ and $\overline{G}$ are both connected, then $4\le pc(G)+pc(\overline{G})\le n$, and the only graph attaining the upper bound is the tree with maximum degree $Δ=n-2$.

研究动机与目标

• 研究在图 $G$ 的结构约束下，其补图的恰当连接数。
• 刻画所有 $n$ 个顶点且恰当连接数为 $n-2$ 的图。
• 为互补图的恰当连接数建立紧致的类似Nordhaus-Gaddum的不等式。
• 确定在 $G$ 和 $\overline{G}$ 的恰当连接数之和中达到上界的极值图。

提出的方法

• 通过分析其结构和边着色性质，刻画恰当连接数为 $n-2$ 的图。
• 利用已知的恰当路径着色和生成子图结果，对 $pc(G)$ 和 $pc(\overline{G})$ 进行界定。
• 应用恰当路径着色的强性质，以最少颜色确保连通性。
• 在不同结构情形下分析补图 $\overline{G}$：无割点、含多个连通分量的割点，以及含两个连通分量的割点。
• 基于割点 $u$ 的 $G - u$ 中的连通分量数量进行情形分析，并应用 $\overline{G}$ 中完全 $k$-分图子图的结果。
• 利用关于 2-连通图和树子图的 $pc(H)$ 已知界，推导 $pc(G)$ 和 $pc(\overline{G})$ 的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于连通的互补图 $G$ 和 $\overline{G}$，$pc(G) + pc(\overline{G})$ 的最大可能值是多少？
• RQ2 哪些 $n$ 个顶点的图能达到恰当连接数 $n-2$？
• RQ3 在什么条件下，对于连通的 $G$ 和 $\overline{G}$，有 $pc(G) + pc(\overline{G}) = n$ 成立？
• RQ4 图 $G$ 中割点的存在如何影响 $\overline{G}$ 的恰当连接数？
• RQ5 能否为恰当连接数建立类似Nordhaus-Gaddum的不等式？若能，最紧致的界是什么？

主要发现

• 对于任意连通的互补图 $G$ 和 $\overline{G}$，和 $pc(G) + pc(\overline{G})$ 的下界为 4，上界为 $n$。
• 当且仅当 $G$ 是最大度为 $n-2$ 的树时，上界 $pc(G) + pc(\overline{G}) = n$ 成立。
• 当 $n \geq 7$ 时，除非 $G$ 是最大度 $\Delta = n-2$ 的树，否则 $pc(G) + pc(\overline{G}) < n$，而该树能实现等号。
• 若 $G$ 存在割点 $u$，使得 $G - u$ 至少有三个连通分量，则 $pc(G) + pc(\overline{G}) < n$。
• 当 $G$ 的割点每个仅与一条悬挂边相连时，有 $pc(G) \leq 3$ 且 $pc(\overline{G}) \leq \max\{3, n-4\}$，因此当 $n \geq 7$ 时，$pc(G) + pc(\overline{G}) < n$，且当 $n=6$ 时也严格小于 $n$。
• 对满足 $pc(G) = n-2$ 的图的刻画是证明紧致上界及识别极值情形的关键。