[论文解读] Properly embedded and immersed minimal surfaces in the Heisenberg group

Jih-Hsin Cheng, Jenn-Fang Hwang|ArXiv.org|Jul 7, 2004

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用 4

一句话总结

本文对三维海森堡群中的完备嵌入与浸入p-极小曲面进行分类，证明其必由Legendrian直线构成的直母线构成，并识别出两种拓扑类型：带状与环状。文章提供了显式参数化，对螺旋面型曲面（包括除接触平面外的所有整体p-极小图）进行分类，并建立了完备性与无奇点的充要条件。

ABSTRACT

We study properly embedded and immersed p(pseudohermitian)-minimal surfaces in the 3-dimensional Heisenberg group. From the recent work of Cheng, Hwang, Malchiodi, and Yang, we learn that such surfaces must be ruled surfaces. There are two types of such surfaces: band type and annulus type according to their topology. We give an explicit expression for these surfaces. Among band types there is a class of properly embedded p-minimal surfaces of so called helicoid type. We classify all the helicoid type p-minimal surfaces. This class of p-minimal surfaces includes all the entire p-minimal graphs (except contact planes) over any plane. Moreover, we give a necessary and sufficient condition for such a p-minimal surface to have no singular points. For general complete immersed p-minimal surfaces, we prove a half space theorem and give a criterion for the properness.

研究动机与目标

• 对三维海森堡群中所有完备嵌入与浸入p-极小曲面进行分类。
• 通过螺旋面型框架，将整体p-极小图（除接触平面外）的分类结果推广至更广泛的曲面类。
• 建立p-极小曲面完备嵌入且无奇点的必要与充分条件。
• 证明海森堡群中完备浸入p-极小曲面的半空间定理。
• 分析p-极小曲面的拓扑与几何结构，特别区分带状与环状曲面。

提出的方法

• 使用$C^2$光滑映射$X(s,t)$对p-极小曲面进行参数化，其直母线沿海森堡群中的Legendrian直线方向。
• 利用曲面为p-极小的条件，该条件可约化为伪厄米特平均曲率为零所导出的二阶偏微分方程。
• 通过条件$(s^2+1) heta' + heta' = 0$（方程2.9）表征奇点，该条件由p-极小方程中梯度消失导出。
• 通过证明$H_1$中任意紧致球的原像在参数域$\mathbb{R}^2$或$\mathbb{R} \times S^1$中为紧致，来建立完备性。
• 利用特征线$\tilde{\Gamma}_t = \Sigma \cap P_t$的结构，根据平面$P_t$是否覆盖整个空间，对曲面进行分类。
• 基于单射性与完备性进行拓扑论证，以证明嵌入性与完备性，尤其在半空间定理的背景下。

实验结果

研究问题

• RQ1 在海森堡群中，$C^2$光滑p-极小曲面完备嵌入的必要与充分条件是什么？
• RQ2 哪些p-极小曲面属于螺旋面型？它们如何被显式参数化？
• RQ3 在何种条件下p-极小曲面无奇点？
• RQ4 在海森堡群的半空间中，是否存在不为接触平面的完备且完备嵌入的p-极小曲面？
• RQ5 完备嵌入的p-极小曲面在海森堡群中可能具有哪些拓扑类型（带状或环状）？

主要发现

• 所有在海森堡群中完备嵌入的p-极小曲面均由Legendrian直线构成，其拓扑类型为带状（$\mathbb{R}^2$）或环状（$\mathbb{R} \times S^1$）。
• 螺旋面型p-极小曲面类包括所有在任意平面上的整体$C^2$光滑p-极小图，但不包括接触平面。
• p-极小曲面无奇点的充要条件是方程$(s^2+1) heta' + heta' = 0$不成立，等价于$\theta'$与$\gamma'$同号。
• 在$H_1$的半空间中，完备且完备嵌入的p-极小曲面必为接触平面，从而证明了半空间定理。
• 存在即使在弱意义下（即特征线不位于平行平面中）也不属于螺旋面型的完备嵌入p-极小曲面，通过显式例子予以说明。
• 对于$C^2$光滑p-极小曲面，其完备性等价于$H_1$中任意紧致球的原像在参数域$\mathbb{R}^2$或$\mathbb{R} \times S^1$中为紧致。