[论文解读] Properties and Construction of Polar Codes

Ryuhei Mori|arXiv (Cornell University)|Feb 18, 2010

Error Correcting Code Techniques参考文献 16被引用 15

一句话总结

本文提出了一种在非二进制离散记忆无损信道上使用里德-所罗门核的极化码广义框架，证明这些码的渐近性能优于目前已知的二进制极化码。通过将连续取消译码解释为在树状图上的信念传播，并应用密度演化，作者推导出一种高效的构造方法，并证明里德-所罗门核在扩展为任意字母表大小时，可推广阿里坎原始的二进制构造，且其极化指数趋近于1。

ABSTRACT

Recently, Arıkan introduced the method of channel polarization on which one can construct efficient capacity-achieving codes, called polar codes, for any binary discrete memoryless channel. In the thesis, we show that decoding algorithm of polar codes, called successive cancellation decoding, can be regarded as belief propagation decoding, which has been used for decoding of low-density parity-check codes, on a tree graph. On the basis of the observation, we show an efficient construction method of polar codes using density evolution, which has been used for evaluation of the error probability of belief propagation decoding on a tree graph. We further show that channel polarization phenomenon and polar codes can be generalized to non-binary discrete memoryless channels. Asymptotic performances of non-binary polar codes, which use non-binary matrices called the Reed-Solomon matrices, are better than asymptotic performances of the best explicitly known binary polar code. We also find that the Reed-Solomon matrices are considered to be natural generalization of the original binary channel polarization introduced by Arıkan.

研究动机与目标

• 开发一种基于树图上密度演化与信念传播的极化码高效构造方法。
• 将信道极化现象与极化码构造从二进制推广至非二进制离散记忆无损信道。
• 证明里德-所罗门核是阿里坎原始二进制核的自然推广，并能实现更优的渐近性能。
• 通过核相关的指数分析非二进制极化码的极化速度与误码率界。

提出的方法

• 将极化码的连续取消译码重新表述为在树状因子图上的信念传播。
• 应用密度演化分析信念传播在树图上的误码概率，从而实现高效码构造。
• 通过任意线性核将信道极化机制从二进制推广至q元信道。
• 定义并分析极化指数，利用核矩阵的最小与最大距离，尤其针对里德-所罗门核。
• 使用里德-所罗门核矩阵作为MDS码的生成矩阵，以确保强极化行为。
• 利用核的距离谱推导出的极化指数与方差参数，推导非二进制极化码误码概率的渐近界。

实验结果

研究问题

• RQ1 极化码的连续取消译码能否等价地解释为在树图上的信念传播？
• RQ2 何种核条件可确保q元离散记忆无损信道的信道极化？
• RQ3 核的选择，特别是里德-所罗门矩阵，如何影响极化码的渐近性能？
• RQ4 里德-所罗门核的可实现极化指数是多少？与二进制核相比如何？
• RQ5 密度演化能否有效用于构造非二进制信道下低误码率的极化码？

主要发现

• 在F₄上大小为4的里德-所罗门核，其极化指数约为0.57312，超过大小为16的最优二进制矩阵的0.51828。
• 随着字母表大小q增加，里德-所罗门核的极化指数趋近于1，表明其收敛速度接近最优。
• 对于q元信道，当核矩阵是广义里德-所罗门码的生成矩阵时，信道极化现象发生，特别是当核满秩且域选择适当时。
• 使用里德-所罗门核的非二进制极化码的渐近误码率被高斯尾部所界定，其指数由核的距离谱决定。
• 通过密度演化构造极化码可高效选择可靠比特信道，实现对对称q元DMC的容量可达性能。
• 本文证明，里德-所罗门核推广了阿里坎原始的2×2二进制核，在结构与渐近性能上对非二进制信道均为最优。