[论文解读] Proving termination with transition invariants of height omega

Stefano Berardi, Paulo Oliva+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2014

semigroups and automata theory参考文献 3被引用 3

一句话总结

该论文证明，具有由高度为 𝜔 的关系构成的析取性良好奠基过渡不变量的 while-if 程序，恰好是那些其约化关系的序数高度 ≤ 𝜔ⁿ（对某个有限 n）的程序。此外，当关系和过渡关系均为原始递归时，此类程序恰好计算原始递归函数，从而刻画了 Podelski-Rybalchenko 终止框架的表达能力，并支持了 Terminator 算法恰好捕捉原始递归函数的猜想。

ABSTRACT

The Termination Theorem by Podelski and Rybalchenko states that the reduction relations which are terminating from any initial state are exactly the reduction relations whose transitive closure, restricted to the accessible states, is included in some finite union of well-founded relations. An alternative statement of the theorem is that terminating reduction relations are precisely those having a "disjunctively well-founded transition invariant". From this result the same authors and Byron Cook designed an algorithm checking a sufficient condition for termination for a while-if program. The algorithm looks for a disjunctively well-founded transition invariant, made of well-founded relations of height omega, and if it finds it, it deduces the termination for the while-if program using the Termination Theorem. This raises an interesting question: What is the status of reduction relations having a disjunctively well-founded transition invariant where each relation has height omega? An answer to this question can lead to a characterization of the set of while-if programs which the termination algorithm can prove to be terminating. The goal of this work is to prove that they are exactly the set of reduction relations having height omega^n for some n < omega. Besides, if all the relations in the transition invariant are primitive recursive and the reduction relation is the graph of the restriction to some primitive recursive set of a primitive recursive map, then a final state is computable by some primitive recursive map in the initial state. As a corollary we derive that the set of functions, having at least one implementation in Podelski Rybalchenko while-if language with a well-founded disjunctively transition invariant where each relation has height omega, is exactly the set of primitive recursive functions.

研究动机与目标

• 刻画可通过由高度为 𝜔 的关系构成的析取性良好奠基过渡不变量证明终止的 while-if 程序类。
• 确定允许此类不变量的约化关系的序数高度，将证明论强度与计算表达力联系起来。
• 证明当所有关系均为原始递归时，最终状态和步骤数均可由原始递归函数计算。
• 支持如下猜想：基于 Podelski-Rybalchenko 终止定理的 Terminator 算法恰好捕捉原始递归函数。

提出的方法

• 引入 H-闭包定理作为拉姆齐定理的构造性、直觉主义对等物，使在构造性设定下证明终止定理成为可能。
• 定义 k-分支递减序列树以建模过渡不变量的结构，并使用序数的自然和计算其序数高度。
• 通过 k-元树上的包含关系模拟 H(R₁ ∪ … ∪ Rₖ) 顺序，将并集的序数高度界为 2^(α₁ ⊕ … ⊕ αₖ)，其中各关系的高度 ≤ αᵢ。
• 构建从过渡不变量到 k-元树的原始递归嵌入，以推导出终止步骤数的统一原始递归界。
• 证明：对于定义在原始递归域上的原始递归映射图的约化关系，若存在一个高度为 𝜔 的过渡不变量，则最终状态的可计算性为原始递归。
• 通过函数复合与原始递归的归纳，证明任何可在 Podelski-Rybalchenko 的 while-if 语言中使用 𝜔 高度不变量实现的函数均为原始递归。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些类的 while-if 程序可使用由高度为 𝜔 的关系构成的过渡不变量来证明其终止性？
• RQ2 允许由高度为 𝜔 的关系构成的析取性良好奠基过渡不变量的约化关系的最大序数高度是多少？
• RQ3 此类程序的步骤数和最终状态是否可由原始递归函数计算？
• RQ4 当限制在 𝜔 高度不变量时，Podelski-Rybalchenko 终止算法（及 Terminator 算法）是否恰好捕捉原始递归函数？
• RQ5 是否存在一种构造性、直觉主义的终止定理证明，以刻画此类不变量的序理论强度？

主要发现

• 具有由高度为 𝜔 的关系构成的析取性良好奠基过渡不变量的约化关系集合，恰好是那些序数高度 ≤ 𝜔ⁿ（对某个有限 n）的关系集合。
• k 个高度为 𝜔 的关系的并集的序数高度被界为 2^(𝜔 ⊕ … ⊕ 𝜔) = 2^𝜔，其严格小于 𝜔^𝜔。
• 对于任意具有 𝜔 高度过渡不变量且关系为原始递归的 while-if 程序，其步骤数和最终状态均可由原始递归函数计算。
• 使用此类不变量的 Podelski-Rybalchenko while-if 语言中可实现的函数类，恰好是原始递归函数类。
• 本文通过 H-闭包定理提供了终止定理的构造性证明，使关于终止性的直觉主义推理成为可能。
• 研究结果支持如下猜想：当使用 𝜔 高度不变量时，Terminator 算法仅能证明原始递归函数的终止性。