[论文解读] Proximal Delaunay Triangulation Regions

J. F. Peters|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2014

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 10被引用 10

一句话总结

本文证明了近邻Delaunay三角剖分区域——即共享至少一个顶点的Delaunay三角形集合——是凸多边形，利用凸集的交集性质。此外，本文进一步证明了每个Delaunay三角剖分区域均具有局部Leader一致拓扑，为计算几何与基于邻近性的算法中的空间分析提供了拓扑基础。

ABSTRACT

A main result in this paper is the proof that proximal Delaunay triangulation regions are convex polygons. In addition, it is proved that every Delaunay triangulation region has a local Leader uniform topology.

研究动机与目标

• 建立由共享公共顶点的Delaunay三角形构成的近邻Delaunay三角剖分区域的几何凸性。
• 通过邻近关系与一致拓扑形式化Delaunay三角剖分区域的拓扑结构。
• 通过外接圆圆心将Delaunay三角剖分与Voronoï区域关联，该圆心是三个Voronoï区域的公共顶点。
• 为基于Delaunay三角剖分计算密度等空间属性的数值算法提供理论基础。

提出的方法

• 利用凸集的定义及凸集交集（引理1.1）证明近邻Delaunay三角剖分区域为凸多边形。
• 应用Voronoï区域与Delaunay三角形之间的邻近性（δ）和强邻近性（δ̈）概念，以表征邻接与连通性。
• 将Delaunay三角剖分区域定义为两两强邻近的Delaunay三角形的并集，确保共享边或顶点。
• 采用外接圆圆心作为关键几何不变量：当且仅当三角形的外心位于三个Voronoï区域的交集中时，该三角形为Delaunay三角形。
• 通过识别所有与给定三角形在邻近关系δ下邻近的Delaunay三角形，应用局部Leader一致拓扑。
• 使用约束三角剖分与可见性条件，确保在存在约束时边的有效性，从而保持Delaunay性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 近邻Delaunay三角剖分区域是否为凸多边形？若是，原因是什么？
• RQ2 Delaunay三角剖分区域的拓扑结构是什么？它是否具有统一拓扑？
• RQ3 Voronoï区域与外接圆圆心如何与三角形的Delaunay性质相关联？
• RQ4 可见性与邻近关系能否用于表征约束三角剖分中有效Delaunay边与三角形？
• RQ5 外心在确定三角形Delaunay条件中起什么作用？

主要发现

• 近邻Delaunay三角剖分区域为凸多边形，因为它们是非空凸集的交集，由引理1.1确立。
• 每个Delaunay三角剖分区域均具有局部Leader一致拓扑，该拓扑由在邻近关系δ下与给定三角形邻近的所有三角形构成。
• 当且仅当三角形的外心位于三个Voronoï区域闭包的交集中时，该三角形为Delaunay三角形，即 u = cl(V_p) ∩ cl(V_q) ∩ cl(V_r)。
• 强邻近的Delaunay三角形共享一条公共边，且这种邻接关系等价于Voronoï区域的强邻近性（V_p δ̈ V_q δ̈ V_r）。
• 在约束三角剖分中，点p与q的可见性意味着边pq的内部远离其他点与边，确保不与约束相交。
• 当所有边均为局部Delaunay时，约束Delaunay三角剖分为有效，即每条边均可见，且边内部任一点均不可见自外接圆内部的任意点。