[论文解读] Proximal Planar Shape Signatures. Homology Nerves and Descriptive Proximity

James F. Peters|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2017

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 5被引用 7

一句话总结

本文提出了一种基于同调神经元的平面形状特征表示方法——同调神经元是同调群中1-循环的交集，并通过包含描述性接近关系的邻近关系关系进行定义。通过利用单纯复形、贝蒂数以及描述性CW拓扑，作者证明了每个有限且有界的平面形状都具有唯一的特征表示，且同调神经元与其1-循环描述的并集具有相同的同伦型，从而实现了基于拓扑与几何特征的鲁棒形状表征。

ABSTRACT

This article introduces planar shape signatures derived from homology nerves, which are intersecting 1-cycles in a collection of homology groups endowed with a proximal relator (set of nearness relations) that includes a descriptive proximity. A 1-cycle is a closed, connected path with a zero boundary in a simplicial complex covering a finite, bounded planar shape. The signature of a shape sh A (denoted by sig(sh A)) is a feature vector that describes sh A. A signature sig(sh A) is derived from the geometry, homology nerves, Betti number, and descriptive CW topology on the shape sh A. Several main results are given, namely, (a) every finite, bounded planar shape has a signature derived from the homology group on the shape, (b) a homology group equipped with a proximal relator defines a descriptive Leader uniform topology and (c) a description of a homology nerve and union of the descriptions of the 1-cycles in the nerve have same homotopy type.

研究动机与目标

• 开发一种基于同调群与邻近关系的平面形状特征表示的拓扑框架。
• 基于1-循环、贝蒂数以及有限有界平面形状上的描述性CW拓扑，定义形状特征表示。
• 在配备邻近关系关系的同调群上建立描述性一致拓扑。
• 证明同调神经元与其组成部分1-循环描述的并集具有相同的同伦型。

提出的方法

• 使用单纯复形覆盖有限有界的平面形状，以实现离散拓扑分析。
• 将1-循环定义为单纯复形中边界为零的闭合有向路径，表示形状轮廓。
• 通过强邻近关系，在同调群 $H_1(K)$ 中构建同调神经元，即重叠1-循环的集合。
• 应用描述性接近关系，将1-循环映射到 $\mathbb{R}^n$ 中的特征向量，形成描述性一致拓扑。
• 利用神经定理（定理8）将同调神经元的同伦型与其中1-循环描述的并集的同伦型等同起来。
• 利用Leader一致拓扑构造方法，为配备邻近关系的同调群导出描述性一致结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个有限有界的平面形状是否都能基于其同调群与邻近结构获得唯一的拓扑特征表示？
• RQ2 配备邻近关系的同调群是否能诱导出描述性Leader一致拓扑？
• RQ3 同调神经元与其组成部分1-循环描述的并集是否具有相同的同伦型？
• RQ4 同调神经元能否用于检测平面形状中具有孔洞或空间曲线的子形状？
• RQ5 同调神经元如何支持数字图像中随时间变化的持久形状分析？

主要发现

• 每个有限有界的平面形状都具有唯一的特征表示，其来源于其同调群、1-循环、贝蒂数以及描述性CW拓扑。
• 配备邻近关系的同调群可定义描述性Leader一致拓扑，从而支持对形状特征的拓扑分析。
• 同调神经元 $\mbox{Nrv}\mathcal{H}_1$ 与其中1-循环描述的并集 $\bigcup_{\mbox{cyc}A \in \mathcal{H}_1} \mbox{cyc}A$ 具有相同的同伦型。
• 描述性神经元 $\Phi(\mbox{Nrv}\mathcal{H}_1)$ 与描述的并集 $\bigcup_{\Phi(\mbox{cyc}A) \in \Phi(\mbox{Nrv}\mathcal{H}_1)} \Phi(\mbox{cyc}A)$ 同样具有相同的同伦型。
• 该框架支持未来在持久形状分析以及1-循环中空间曲线检测方面的应用。
• 开放问题包括：检测包围孔洞的1-循环、为子形状构建重叠的同调神经元，以及利用曲率与贝蒂数测量形状持久性。