[论文解读] Prym Varieties and the Moduli of Spin Bundles

W. M. Oxbury|ArXiv.org|Nov 28, 1994

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用 9

一句话总结

本文建立了曲线上旋丛模空间的Verlinde公式与无分支双覆盖对应的Prym流形上的theta函数之间的联系。它在旋丛模空间上theta线丛截面空间与Prym流形上theta函数空间之间构造了一个自然对偶性，暗示了旋丛情形下广义的'奇异对偶性'猜想的一个特例。

ABSTRACT

We show that the Verlinde formula for moduli spaces of spin bundles on an algebraic curve gives dimensions of direct sums of spaces of theta functions over the finite set of Prym varieties of unramified double covers of the curve. We then construct a natural duality (though we do not show it is nondegenerate) between the latter spaces and the spaces of sections of the theta bundles on the moduli spaces of spin bundles corresponding to the orthogonal representation. Finally, it is remarked that this should be viewed as a special case of a conjectured `strange duality' for spin bundles.

研究动机与目标

• 将旋丛模空间的Verlinde公式与无分支双覆盖的Prym流形上的theta函数联系起来。
• 通过Prym流形探索旋丛模空间的几何与表示论结构。
• 在旋丛模空间上theta线丛的截面空间与Prym流形上的theta函数空间之间构造一个自然对偶性。
• 将所构造的对偶性置于旋丛更广泛猜想的'奇异对偶性'的特例位置。
• 通过无分支双覆盖情境下的显式构造，为对偶性猜想提供证据。

提出的方法

• 利用Verlinde公式计算旋丛模空间上theta线丛截面空间的维数。
• 分析由固定代数曲线的无分支双覆盖所产生的有限个Prym流形。
• 在旋丛模空间上theta线丛的截面空间与相关Prym流形上的theta函数空间之间构造一个自然对偶映射。
• 应用正交群的表示理论来解释旋丛模空间上theta线丛的结构。
• 依赖代数几何技术，包括线丛、theta特征以及向量丛模理论。
• 利用无分支双覆盖的结构，将曲线的几何与相应Prym流形的几何联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 旋丛模空间的Verlinde公式如何与无分支双覆盖的Prym流形上的theta函数相关联？
• RQ2 是否能在旋丛模空间上theta线丛的截面空间与Prym流形上的theta函数空间之间构造一个自然对偶性？
• RQ3 所构造的对偶性是否非退化？若非退化，其成立的条件是什么？
• RQ4 该对偶性在何种意义上体现了或支持了旋丛的'奇异对偶性'猜想？
• RQ5 无分支双覆盖的几何性质如何影响相关Prym流形及其theta函数的结构？

主要发现

• 旋丛模空间的Verlinde公式计算了无分支双覆盖的Prym流形集合上theta函数空间的直和的维数。
• 在旋丛模空间上theta线丛的截面空间与相关Prym流形上的theta函数空间之间构造了一个自然对偶性。
• 所构造的对偶性尚未被证明为非退化，但其自然性与几何意义已被证明。
• 该对偶性被解释为旋丛更广泛猜想的'奇异对偶性'的一个特例。
• 结果通过Prym theta特征及其相关线丛，实现了Verlinde公式的几何实现。
• 该框架在旋丛模理论与Prym流形理论之间建立了桥梁，丰富了对两者的理解。