[论文解读] Pseudoautomorphisms with invariant elliptic curves

Eric Bedford, Jeffery Diller+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文在有理复流形上构造了显式的伪自同构，通过沿不变曲线的爆破提升双有理映射，从而保持椭圆曲线。利用考克斯eter群作用与动力度分析，给出了这些映射的闭式矩阵公式，尤其当它们对应于无限反射群中的考克斯eter元时，可得到具有正熵及不变有理曲线或椭圆曲线的自同构。

ABSTRACT

We describe an explicit method for constructing pseudo-automorphisms of a space $X$ which is obtained by blowing up points of $P^k$ (or a product $P^k imes \cdots imes P^k$). The centers of blowup are chosen to lie on an elliptic normal curve and are determined using the arithmetic on the curve. These pseudo-automorphism have dynamical degree greater than $1$.

研究动机与目标

• 为有理复流形上具有不变椭圆曲线的伪自同构的存在性结果提供具体且构造性的方法。
• 通过为这些映射提供显式公式，扩展Perroni和Zhang的先前结果。
• 通过其在Picard群与交形式上的作用，刻画这些映射的动力学行为。
• 证明无限反射群中的考克斯eter元可产生特别简洁且对称的伪自同构。

提出的方法

• 通过沿不变曲线的点爆破，将P²上的双有理映射提升为P²爆破后的自同构，以解析不定点。
• 利用Picard格上的考克斯eter群结构，定义保持固定椭圆曲线的自同构。
• 应用动力度δ（一个Salem数的Galois共轭），对映射进行参数化，以确保正熵。
• 通过递推关系与对称函数，在多射影空间中推导出自同构的显式矩阵公式。
• 施加轨道数据，包含循环置换及长度被k+1整除的轨道，以确保与考克斯eter元的一致性。
• 通过在(P^k)^m上定义分量线性变换，其中参数由δ和m导出，构造映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为有理流形上具有不变椭圆曲线的伪自同构推导出显式公式？
• RQ2 考克斯eter群在Picard格上的作用如何与这类自同构的存在性相关？
• RQ3 动力度δ在确保正熵与代数稳定性方面起什么作用？
• RQ4 在何种条件下，反射群中的考克斯eter元会生成具有不变曲线的伪自同构？
• RQ5 如何利用例外曲线与不定点的轨道结构来构造此类映射？

主要发现

• 论文在定理4.7与6.4中给出了伪自同构的显式矩阵公式，尤其当映射对应于考克斯eter元时。
• 参数t_j^+通过δ、k与轨道长度以闭式导出，确保所有爆破点互不相同。
• 对于n ≥ 8，有F^n(Σ₂) = e₀，这保证了正熵，并可提升为爆破曲面上的自同构。
• Pic(X)上的作用作为洛伦兹格上考克斯eter群作用的等距实现，椭圆曲线在诱导作用下保持不变。
• 该构造可推广至多射影空间(P^k)^m，其中映射f = L∘J具有轨道数据{(1,…,1,n(k+1)), σ}，σ为循环置换。
• 对于P^k中的共点直线，所得伪自同构实现了一个T型Dynkin图的考克斯eter元，矩阵元素由α、m与j参数化。