[论文解读] Pseudodifferential Operators and Regularized Traces

Matthias Lesch|arXiv (Cornell University)|Jan 13, 2009

Advanced Operator Algebra Research参考文献 17被引用 8

一句话总结

本文对伪微分算子背景下正规化迹进行了全面综述，建立了希尔伯特空间迹、康特绍维奇–维什克典型迹与迪克曼迹之间的联系。通过引入依赖参数的微分算子演算与哈达玛有限部分正则化方法，构建了泛函分析框架，将迹推广至非整数阶算子。证明了通过纤维积分与陈类同构的上同调特征刻画，推广了帕奇亚关于斯托克斯性质的结果。

ABSTRACT

This paper is based on talks delivered in summer 2008 at the Conference on Motives, QFT and Pseudodifferential Operators in Boston, and at the Trimester programme Geometry and Physics, Hausdorff Institute for Mathematics in Bonn The paper surveys the pseudodifferential calculus with parameter, resolvent expansions, Dixmier trace, noncommutative residue, Kontsevich-Vishik canonical trace as well some aspects of regularized integrals on spaces of symbols.

研究动机与目标

• 通过哈达玛有限部分正则化方法，将希尔伯特空间迹推广至非整数阶伪微分算子。
• 在康奈斯工作的基础上，建立非交换余迹的泛函分析解释，即其为迪克曼迹。
• 研究参数依赖伪微分算子代数上迹的存在性与唯一性。
• 通过分析具有符号系数的 R^n 的德拉姆上同调，推广帕奇亚对正规化积分的刻画。
• 证明弗雷歇代数符号函数上系数的微分形式的陈类同构，将纤维积分与上同调相联系。

提出的方法

• 利用伪微分算子的参数依赖演算，推导出预解迹的渐近展开式。
• 应用哈达玛有限部分正则化方法，将迹公式 Tr(A) = ∫k_A(x,x)dx 推广至非迹类算子。
• 在参数依赖算子上引入符号值迹，并通过迪克曼迹构造将其与余迹联系起来。
• 为弗雷歇代数符号函数系数的微分形式定义纤维积分，保持与外微分的相容性。
• 利用陈类同构，将具有符号系数的 R^n 上同调与球面的德拉姆上同调及点态上同调相联系。
• 分析类型 I 与 II 弗雷歇代数 A 的 H^k A(R^n) 上同调群，证明在 k=0,1,n 时同构于 C，其余情况为零。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过哈达玛有限部分正则化方法，将希尔伯特空间迹推广至非整数阶伪微分算子？
• RQ2 在迪克曼迹的框架下，沃迪奇基–吉列明余迹的泛函分析解释是什么？
• RQ3 参数依赖伪微分算子演算如何导出预解迹的渐近展开？
• RQ4 哈达玛有限部分在非迹类算子上迹正则化中起什么作用？
• RQ5 具有符号系数的 R^n 的德拉姆上同调如何反映正规化积分的斯托克斯性质？

主要发现

• 康特绍维奇–维什克典型迹通过哈达玛有限部分正则化方法，将希尔伯特空间迹推广至非整数阶伪微分算子。
• 伪微分算子上的余迹被识别为迪克曼迹，为非交换余迹提供了泛函分析解释。
• 对于包含常值函数 1 的 II 型弗雷歇代数，上同调群 H^k A(R^n) 在 k=0,1,n 时同构于 C，其余情况为零。
• 对于 I 型代数，紧支集形式的包含诱导了上同调中的同构，保持了德拉姆上同调的结构。
• 纤维积分诱导了同构 H^k A_0(R^n) → H^{k-1}(S^{n-1})（k ≥ 1），推广了帕奇亚关于斯托克斯性质的结果。
• 陈类同构在 A_0([0,∞) × M) 上成立，π_* 诱导了同构 H^k A_0([0,∞) × M) → H^{k-1}_dR(M)（对所有 k ≥ 0）。