[论文解读] The noncommutative residue and canonical trace in the light of Stokes' and continuity properties

Sylvie Paycha|ArXiv.org|Jun 18, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 12被引用 12

一句话总结

本文通过利用符号上的斯托克斯性质（在偏导数上消失）来表征线性形式，确立了特定类别的经典伪微分算子上经典迹和非交换余项的唯一性。证明了对于非整数阶算子以及奇/偶类算子（在奇/偶维数中），经典迹是唯一满足在括号上消失的连续线性泛函，并通过缺陷公式与解析延拓方法将经典迹扩展为全局积分密度。

ABSTRACT

We show that the noncommutative residue density, resp. the cut-off regularised integral are the only closed linear, resp. continuous closed linear forms on certain classes of symbols. This leads to alternative proofs of the uniqueness of the noncommutative residue, resp. the canonical trace as linear, resp. continuous linear forms on certain classes of classical pseudodifferential operators which vanish on brackets. The uniqueness of the canonical trace actually holds on classes of classical pseudodifferential with vanishing residue density which include non integer order operators in all dimensions and odd-class (resp. even-class) operators in odd (resp. even) dimensions. The description of the canonical trace for non integer order operators as an integrated global density on the manifold is extended to odd-class (resp. even-class) operators in odd (resp. even) dimensions on the grounds of defect formulae for regularised traces of classical pseudodifferential operators.

研究动机与目标

• 通过符号上的斯托克斯性质，统一表征非交换余项与经典迹。
• 在残差密度消失的古典伪微分算子类上，确立经典迹的唯一性，包括非整数阶及奇/偶类算子。
• 通过解析延拓与缺陷公式，将经典迹扩展为非整数阶及奇/偶类算子的全局定义、积分形式的密度。
• 阐明线性泛函在算子括号上消失与在傅里叶变量中消失于偏导数之间的等价性，借助对易恒等式 $[x_i, { m Op}(p)] = -i\,{\rm Op}(\partial_{\xi_i}p)$。

提出的方法

• 通过斯托克斯性质表征符号上的线性泛函——要求在傅里叶变量 $\xi$ 的偏导数上消失——以识别截断正则化积分为唯一此类泛函。
• 利用对易恒等式 $[x_i, { m Op}(p)] = -i\,{ m Op}(\partial_{\xi_i}p)$，将算子括号上的消失性与符号中导数的消失性联系起来。
• 使用单位分解将局部形式粘合于坐标图上，证明其全局线性性，并与经典迹成比例。
• 通过 $A(z) = A Q^{-z}$ 的解析延拓（其中 $Q$ 为适定椭圆算子）定义正则化迹 $\mathrm{TR}(A(z))$，该函数在 $z=0$ 处为亚纯且解析，适用于非整数阶或奇/偶类算子。
• 利用 [PS] 中的缺陷公式，证明在奇维数中奇类算子及偶维数中偶类算子上，经典迹作为 $M$ 上的全局密度是良定义的。
• 利用齐次符号若残差为零，则可表示为导数之和（模光滑项）的事实，将唯一性问题约化为符号上的闭线性形式问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 什么特征使得经典迹成为古典伪微分算子上唯一满足在括号上消失的连续线性泛函？
• RQ2 如何通过符号上的斯托克斯性质唯一表征非交换余项与经典迹？
• RQ3 在哪些古典伪微分算子类中，经典迹可作为全局积分密度良好定义？
• RQ4 残差密度在决定经典迹唯一性中起什么作用？
• RQ5 为何 $A(z) = A Q^{-z}$ 的解析延拓能确保非整数阶及奇/偶类算子上经典迹的连续性与全局定义？

主要发现

• 对于非整数阶古典伪微分算子，经典迹（至多相差一个常数）是唯一在括号上消失的连续线性泛函。
• 在奇维数中的奇类算子与偶维数中的偶类算子上，经典迹是唯一在括号上消失的连续线性泛函，且可唯一表征。
• 通过解析延拓与缺陷公式，经典迹可扩展为 $M$ 上非整数阶算子及奇类（相应地偶类）算子在奇（相应地偶）维数中的全局定义、积分形式的密度。
• 线性泛函在算子括号上消失，等价于其在傅里叶变量 $\xi$ 的偏导数上消失，此等价性由对易恒等式 $[x_i, { m Op}(p)] = -i\,{ m Op}(\partial_{\xi_i}p)$ 所揭示。
• 截断正则化积分 $-\hskip-10.0pt\int_{\mathbb{R}^n}$ 是符号上唯一的闭线性泛函，而非交换余项是经典符号上唯一的此类泛函。
• 经典迹在正则化 $A(z) = A Q^{-z}$ 中对适定椭圆算子 $Q$ 的选择无关，确保了迹定义的稳健性。