[论文解读] Pseudorandom Bits for Non-Commutative Programs

Bläser, Markus, Thomas M. Church|arXiv (Cornell University)|Dec 6, 2017

Tensor decomposition and applications参考文献 27被引用 16

一句话总结

本文研究了在矩阵乘法中证明 ω = 2 的群论方法，表明具有有界指数（在轻微条件下）的幂零群以及通过三个杨子群的对称群无法实现该界限。本文将多项式方法推广至非交换群，利用幂次的增广理想，建立了限制 STPP 构造规模的收缩率，从而缩小了在此框架下可行群的搜索范围。

ABSTRACT

Determining the exponent of matrix multiplication ω is one of the central open problems in algebraic complexity theory. All approaches to design fast matrix multiplication algorithms follow the following general pattern: We start with one "efficient" tensor T of fixed size and then we use a way to get a large matrix multiplication out of a large tensor power of T. In the recent years, several so-called barrier results have been established. A barrier result shows a lower bound on the best upper bound for the exponent of matrix multiplication that can be obtained by a certain restriction starting with a certain tensor. We prove the following barrier over C: Starting with a tensor of minimal border rank satisfying a certain genericity condition, except for the diagonal tensor, it is impossible to prove ω = 2 using arbitrary restrictions. This is astonishing since the tensors of minimal border rank look like the most natural candidates for designing fast matrix multiplication algorithms. We prove this by showing that all of these tensors are irreversible, using a structural characterisation of these tensors. To obtain our result, we relate irreversibility to asymptotic slice rank and instability of tensors and prove that the instability of block tensors can often be decided by looking only on the sizes of nonzero blocks.

研究动机与目标

• 确定哪些非阿贝尔群可在 Cohn–Umans 群论框架中支持证明 ω = 2 的构造。
• 将用于卡普集猜想的多项式方法扩展至非阿贝尔群，特别是幂零群。
• 排除对称群 Sn 作为此类构造的宿主，当使用三个杨子群时。
• 为在寻找 ω = 2 的过程中系统性地排除群族提供一种方法，平衡正向与负向结果。

提出的方法

• 通过用增广理想幂次 I^k / I^{k+1} 取代次数分次，将切片秩与多项式方法推广至非阿贝尔群。
• 将幂零群中 I^k / I^{k+1} 的维数收缩率分析作为限制 STPP 构造规模的关键不变量。
• 对这些维数应用集中不等式，证明有界指数幂零群中 STPP 构造的上界。
• 通过精巧的归纳论证表明，在对称群或交错群中，任意三个杨子群均无法给出 ω 的非平凡界限。
• 利用平坦秩可加性与代数闭域上的 Zariski 开性论证，在非阿贝尔情形下保留几何直觉。
• 将问题约化为研究群代数乘法张量受限子空间中的矩阵秩，利用 Flanders 定理导出矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有有界指数并满足轻微附加条件的幂零群是否可在 Cohn–Umans 框架中证明 ω = 2？
• RQ2 对称群 Sn 是否可通过三个杨子群实现 STPP 构造并给出 ω 的非平凡界限？
• RQ3 能否通过增广理想将卡普集问题中使用的多项式方法推广至非阿贝尔群？
• RQ4 幂零群中 I^k / I^{k+1} 的维数收缩率是否足以限制 STPP 构造规模，从而排除 ω = 2？
• RQ5 对称群中是否存在结构性障碍，使得自然的杨子群嵌入无法实现 ω = 2？

主要发现

• 满足轻微条件的有界指数幂零群无法证明 ω = 2，因为此类群中的 STPP 构造受 |G|^{1−ε}（ε > 0）限制。
• 幂零群中 I^k / I^{k+1} 的维数收缩率被证明是限制 STPP 构造规模的关键因素，从而将多项式方法推广至非阿贝尔情形。
• 当嵌入通过三个杨子群实现时，对称群 Sn 无法给出 ω 的非平凡界限，从而排除了一种自然且广泛使用的构造策略。
• 矩阵乘法张量 ⟨n,n,n⟩ 的平坦秩与切片秩均为满秩，这意味着非平凡的切片秩界限要求在特征整除 |G| 的域上工作。
• 平坦秩在直和上具有可加性，该性质被用于证明矩阵乘法张量直和的切片秩为满秩，从而表明半单群代数具有满切片秩。
• 对于循环群 Z/nZ，其群代数的平坦秩与切片秩在任意特征下均等于 |G|，证实了对 p-群的早期界限是紧致的。