[论文解读] Pseudorandom generators and the BQP vs. PH problem

Bill Fefferman, Christopher Umans|arXiv (Cornell University)|Jul 2, 2010

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 18被引用 11

一句话总结

本文提出了一个关于Nisan-Wigderson伪随机生成器在使用多数函数作为难函数时能否欺骗$AC_0$电路的猜想，表明若该猜想成立，则意味着存在一个相对论的预言，使得BQP不在PH中。关键贡献在于构造了可由量子计算实现的酉矩阵，其行支撑几乎不相交，从而使得量子算法能够区分该生成器的输出与均匀分布，而经典$AC_0$电路则不能，前提是该猜想成立。

ABSTRACT

It is a longstanding open problem to devise an oracle relative to which BQP does not lie in the Polynomial-Time Hierarchy (PH). We advance a natural conjecture about the capacity of the Nisan-Wigderson pseudorandom generator [NW94] to fool AC_0, with MAJORITY as its hard function. Our conjecture is essentially that the loss due to the hybrid argument (which is a component of the standard proof from [NW94]) can be avoided in this setting. This is a question that has been asked previously in the pseudorandomness literature [BSW03]. We then make three main contributions: (1) We show that our conjecture implies the existence of an oracle relative to which BQP is not in the PH. This entails giving an explicit construction of unitary matrices, realizable by small quantum circuits, whose row-supports are "nearly-disjoint." (2) We give a simple framework (generalizing the setting of Aaronson [A10]) in which any efficiently quantumly computable unitary gives rise to a distribution that can be distinguished from the uniform distribution by an efficient quantum algorithm. When applied to the unitaries we construct, this framework yields a problem that can be solved quantumly, and which forms the basis for the desired oracle. (3) We prove that Aaronson's "GLN conjecture" [A10] implies our conjecture; our conjecture is thus formally easier to prove. The GLN conjecture was recently proved false for depth greater than 2 [A10a], but it remains open for depth 2. If true, the depth-2 version of either conjecture would imply an oracle relative to which BQP is not in AM, which is itself an outstanding open problem. Taken together, our results have the following interesting interpretation: they give an instantiation of the Nisan-Wigderson generator that can be broken by quantum computers, but not by the relevant modes of classical computation, if our conjecture is true.

研究动机与目标

• 解决长期悬而未决的开放问题：构造一个相对论，使得BQP不在多项式阶层（PH）中。
• 识别一种可避免伪随机性中混合论证损失的情境，特别是针对以多数函数作为难函数的Nisan-Wigderson生成器。
• 通过证明在新猜想下，量子算法可区分Nisan-Wigderson生成器的输出与均匀分布，而经典$AC_0$电路则不能，建立伪随机性与量子复杂性之间的联系。
• 提供一个框架，其中高效可计算的量子酉矩阵可产生被量子算法区分但无法被经典$AC_0$电路区分的概率分布。

提出的方法

• 提出一个猜想：当块数$m$为$π$的多项式时，以多数函数作为难函数的Nisan-Wigderson生成器仍能欺骗$AC_0$电路，从而避免混合论证中标准的$1/m$损失。
• 构造显式可由小型量子电路实现的酉矩阵，其行支撑几乎不相交，从而支持量子可区分性。
• 提出一个通用框架，表明任何高效可计算的量子酉矩阵均可导出一个可被高效量子算法与均匀分布区分的概率分布。
• 利用该框架定义一个可在量子多项式时间内求解但无法被$AC_0$电路求解的问题，作为所需相对论的基础。
• 证明Aaronson的GLN猜想可推出所提出的猜想，使证明形式上更简单，并指出深度为2的版本仍为开放问题。
• 证明任何该猜想的证明都必须是非黑箱的，因为黑箱归约将与多数函数低次多项式近似值的已知下界矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 在证明以多数函数作为难函数的Nisan-Wigderson生成器能欺骗$AC_0$电路时，能否避免混合论证中的标准$1/m$损失？
• RQ2 是否存在一个相对论，使得在对伪随机性的合理猜想下，BQP不被包含在PH中？
• RQ3 在所提猜想下，量子算法能否区分Nisan-Wigderson生成器的输出与均匀分布，而$AC_0$电路不能？
• RQ4 GLN猜想是否足以推出此类相对论的存在，且是否蕴含所提猜想？
• RQ5 能否使用非黑箱证明技术，证明当混合论证损失被避免时，Nisan-Wigderson生成器能欺骗$AC_0$？

主要发现

• 所提猜想意味着存在一个相对论，使得BQP不在PH中，从而解决了量子复杂性理论中的一个长期开放问题。
• 本文构造了显式实现行支撑几乎不相交的酉矩阵的量子电路，这对量子区分器至关重要。
• 发展了一个通用框架，表明任何高效可计算的量子酉矩阵均可导出一个可被高效量子算法与均匀分布区分的概率分布。
• 该猜想在形式上弱于Aaronson的GLN猜想，后者最近被证明在深度大于2时为假，但深度2的情形仍为开放。
• 该猜想意味着存在一个相对论，使得BQP不在AM中，这是复杂性理论中的另一个重大开放问题。
• 结果表明，若该猜想成立，则Nisan-Wigderson生成器存在一种实例化方式，可被量子计算机破解，但无法被经典$AC_0$电路破解。