[论文解读] Pseudorandom number generation by p-adic ergodic transformations: an addendum

Vladimir Anashin|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2004

advanced mathematical theories参考文献 8被引用 5

一句话总结

该论文将 $p$-adic 混沌变换理论扩展至多变量伪随机数生成器，展示了如何系统地将 $\mathbb{Z}_2$ 上的单变量混沌映射转化为 $m$-维形式，以提升性能与密码学特性。核心贡献是一个框架，通过共轭映射与半直积技术，构建具有改进循环结构和等概率输出序列的计数依赖型生成器。

ABSTRACT

The paper study counter-dependent pseudorandom number generators based on $m$-variate ($m>1$) ergodic mappings of the space of 2-adic integers $\Z_2$. The sequence of internal states of these generators is defined by the recurrence law $\mathbf x_{i+1}= H^B_i(\mathbf x_i)\bmod{2^n}$, whereas their output sequence is %while its output sequence is of the $\mathbf z_{i}=F^B_i(\mathbf x_i)\mod 2^n$; here $\mathbf x_j, \mathbf z_j$ are $m$-dimensional vectors over $\Z_2$. It is shown how the results obtained for a univariate case could be extended to a multivariate case.

研究动机与目标

• 将计数依赖型伪随机数生成器从单变量推广至 $\mathbb{Z}_2$ 上的 $m$-维映射。
• 建立一种系统化方法，通过双射编码 $B$ 从单变量映射导出 $m$-维兼容且混沌的映射。
• 通过提升 $n$-位循环结构至 $(n+K)$-位，实现 $(n+K)$-位字长上单循环置换的多变量生成器构造。
• 通过利用多变量表示，提升线性复杂度与 $2$-adic 复杂度、$k$-元组分布等密码学特性。

提出的方法

• 定义一个双射映射 $B: (\mathbb{Z}_2)^{(m)} \to \mathbb{Z}_2$，通过按列位交织的方式将 $m$-元组的 $2$-adic 整数编码为单个 $2$-adic 整数。
• 在 $(\mathbb{Z}_2)^{(m)}$ 上构造共轭映射 $H^B = B^{-1} \circ H \circ B$，当 $H$ 为混沌映射时，该映射保持混沌性与兼容性。
• 利用文献 [1] 中的混沌性判据——即 $\varphi_i^T$ 必须为奇权重且次数为 $i$——以确保 $H^B$ 为混沌映射。
• 利用半直积技术，将具有单个循环的 $n$-位置换提升为具有单个循环的 $(n+K)$-位置换。
• 基于 $H_i^B$ 设计输出函数 $F_i^B$，以生成周期更长且统计特性更优的序列。
• 应用 $2$-adic 分析与一致可微逼近方法，验证如等概率性与置换行为等性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地将单变量 $p$-adic 混沌映射转化为多变量 $m$-维映射，同时保持混沌性与兼容性？
• RQ2 当 $H$ 在 $\mathbb{Z}_2$ 上为混沌映射时，什么条件能确保 $(\mathbb{Z}_2)^{(m)}$ 上的共轭映射 $H^B$ 仍保持混沌性？
• RQ3 能否通过多变量表示与半直积技术，将 $n$-位置换的循环结构提升至 $(n+K)$-位置换？
• RQ4 多变量表示如何影响输出序列的线性复杂度与 $2$-adic 复杂度，以及 $k$-元组的分布特性？
• RQ5 在多变量 $T$-函数中，$2$-adic 分析与基于导数的方法在多大程度上可用于验证等概率性与置换行为？

主要发现

• 当且仅当原始单变量映射 $H$ 在 $\mathbb{Z}_2$ 上为混沌映射时，$(\mathbb{Z}_2)^{(m)}$ 上的共轭映射 $H^B$ 才为兼容且混沌的，且关键密码学特性得以保持。
• 多变量表示使得可在 $n$-位字长上构造具有单个循环的 $T$-函数，如文献 [7] 中的实例所示，从而支持长周期生成器的实现。
• 该方法可实现将具有单个循环的 $n$-位置换提升为具有单个循环的 $(n+K)$-位置换，确保生成器达到最大周期。
• 通过 $F_i^B$ 生成的输出序列继承了有利的统计特性，如 $k$-元组的均匀分布、扩展的线性复杂度与 $2$-adic 复杂度。
• 利用 $2$-adic 导数与一致可微逼近方法，为多变量 $T$-函数中的等概率性与置换行为提供了严谨的验证框架。
• 该框架支持设计具有可证明密码学强度的计数依赖型生成器，其基础为混沌理论与 $p$-adic 连续性原理。