[论文解读] Pulsating fronts for Fisher-KPP systems with mutations as models in evolutionary epidemiology

Matthieu Alfaro, Quentin Griette|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2016

Mathematical and Theoretical Epidemiology and Ecology Models参考文献 43被引用 9

一句话总结

本文针对具有突变的周期性反应-扩散系统（建模进化流行病学）构建了脉动前导波，其中两种病原体株系在异质环境中竞争。尽管由于交叉竞争而缺乏比较原理，作者通过分歧理论建立了非平凡稳态的存在性，并利用拓扑方法和梯度估计证明了脉动前导波的存在性。

ABSTRACT

We consider a periodic reaction diffusion system which, because of competition between $u$ and $v$, does not enjoy the comparison principle. It also takes into account mutations, allowing $u$ to switch to $v$ and vice versa. Such a system serves as a model in evolutionary epidemiology where two types of pathogens compete in a heterogeneous environment while mutations can occur, thus allowing coexistence.We first discuss the existence of nontrivial positive steady states, using some bifurcation technics. Then, to sustain the possibility of invasion when nontrivial steady states exist, we construct pulsating fronts. As far as we know, this is the first such construction in a situation where comparison arguments are not available.

研究动机与目标

• 分析在存在突变的周期性反应-扩散系统中非平凡正稳态的存在性，该系统建模病原体竞争。
• 研究在存在竞争和突变的情况下，两种病原体株系在异质环境中如何共存的条件。
• 在稳态存在时，建立具有周期结构的脉动前导波——类似行波的解——的存在性。
• 为在缺乏比较原理的系统中构造此类前导波建立一个框架，此类系统通常使标准存在性技术失效。
• 为空间异质环境中的进化动力学提供一个数学模型，与宿主-病原体相互作用及疾病传播相关。

提出的方法

• 使用分歧理论分析系统中非平凡稳态的存在性，将线性化算子的主特征值作为分歧参数。
• 应用拓扑度理论构造脉动前导波，绕过由于 $u$ 和 $v$ 之间交叉竞争导致的比较原理缺失问题。
• 采用两阶段同伦方法：首先将系统变形为合作型，然后恢复原系统，利用一致先验估计。
• 应用椭圆系统类型的Bernstein型内部梯度估计，以在同伦过程中控制解的行为。
• 使用Harnack不等式以及Dirichlet/周期主特征值估计，控制有界区域中解的衰减与增长。
• 依赖Rayleigh商论证，比较在 $(-R,R)$ 上的Dirichlet问题的主特征值与周期问题的主特征值，证明当 $R \to \infty$ 时的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在存在突变和竞争的情况下，系统在何种条件下允许非平凡正稳态存在？
• RQ2 在由于交叉竞争而缺乏比较原理的反应-扩散系统中，如何构造脉动前导波？
• RQ3 在灭绝状态 $(0,0)$ 处线性化算子的主特征值在决定入侵可能性方面起什么作用？
• RQ4 突变率和环境异质性如何影响病原体株系的共存与传播？
• RQ5 在经典单调性技术失效的系统中，能否使用拓扑方法和梯度估计来构造前导波？

主要发现

• 当在灭绝状态处线性化算子的主特征值为正时，非平凡正稳态存在，该结论通过分歧分析建立。
• 即使缺乏比较原理，只要存在非平凡稳态，即可证明脉动前导波的存在性。
• 通过拓扑和变分技术推导出稳态的一致先验估计，确保与参数无关的统一有界性。
• 在 $(-R,R)$ 上的Dirichlet问题的主特征值随着 $R \to \infty$ 收敛到周期主特征值，误差以 $C/R$ 为界。
• 同伦方法成功构造了解，通过将系统变形为合作型并利用一致估计追踪解。
• Bernstein型梯度估计提供了对解的空间变化的控制，这对前导波构造中的紧致性论证至关重要。