[论文解读] Punctured holomorphic curves and Lagrangian embeddings

Kai Cieliebak, Klaus Mohnke|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 40被引用 13

一句话总结

该论文利用带 punctured 的全纯曲线和颈部拉伸技术，建立了关于拉格朗日子流形嵌入的新辛约束。通过证明奥丁猜想，表明在 $\mathbb{C}^n$ 中每个拉格朗日子环面都存在一个 Maslov 指数为 2 且面积至多为 $\pi/(n+1)$ 的全纯盘，从而引入了一种新的辛容量，并对嵌入到无迹流形中的情况施加了限制。

ABSTRACT

We use a neck stretching argument for holomorphic curves to produce symplectic disks of small area and Maslov class with boundary on Lagrangian submanifolds of nonpositive curvature. Applications include the proof of Audin's conjecture on the Maslov class of Lagrangian tori in linear symplectic space, the construction of a new symplectic capacity, obstructions to Lagrangian embeddings into uniruled symplectic manifolds, a quantitative version of Arnold's chord conjecture, and estimates on the size of Weinstein neighbourhoods. The main technical ingredient is transversality for the relevant moduli spaces of punctured holomorphic curves with tangency conditions.

研究动机与目标

• 解决奥丁关于 $\mathbb{C}^n$ 中拉格朗朋友环面的 Maslov 类的猜想。
• 基于边界位于拉格朗朋友环面上的盘的最小辛面积，构造一种新的辛容量。
• 建立拉格朗日子流形嵌入到无迹辛流形中的障碍。
• 通过辛几何提供阿诺德弦猜想的定量版本。
• 利用全纯曲线技术对威恩斯坦邻域的大小给出估计。

提出的方法

• 对带 punctured 的全纯曲线应用颈部拉伸论证，以控制辛面积和 Maslov 指数。
• 使用模空间上带切触条件的横截性技术，解决了长期存在的非单峰横截性问题。
• 将新的辛容量 $c_L(X,\omega)$ 定义为所有嵌入拉格朗朋友环面上的最小辛面积的上确界。
• 将该构造应用于 $\mathbb{C}P^n$（标准辛形式），证明存在 $n+1$ 个面积为 $\pi/(n+1)$、Maslov 指数为 2 的全纯盘，其边界环路生成 $H_1(T^n)$。
• 利用辛约化和拉格朗日邻域定理分析单位球中的哈密顿同伦。
• 利用全纯平面和渐近测地线研究拉格朗日子流形上的同调生成。

实验结果

研究问题

• RQ1 每个 $\mathbb{C}^n$ 中的拉格朗朋友环面是否都存在一个 Maslov 指数为 2 且辛面积较小的全纯盘？
• RQ2 能否基于边界位于拉格朗朋友环面上的盘的最小辛面积来定义一种新的辛容量？
• RQ3 带 punctured 的全纯曲线对拉格朗日子流形嵌入到无迹辛流形中施加了何种障碍？
• RQ4 能否利用全纯曲线不变量将阿诺德弦猜想加强为一个定量陈述？
• RQ5 拉格朗朋友环面上全纯盘的边界环路是否总是生成其第一同调群？

主要发现

• 奥丁猜想已得证明：每个 $\mathbb{C}^n$ 中的拉格朗朋友环面都存在一个 Maslov 指数为 2 且辛面积 $\leq \pi/(n+1)$ 的全纯盘。
• 在 $\mathbb{C}P^n$ 中的 Clifford 环面，存在 $n+1$ 个面积为 $\pi/(n+1)$、Maslov 指数为 2 的全纯盘，其边界环路生成 $H_1(T^n)$。
• 在 $\mathbb{C}P^2$ 中的切卡诺夫环面，这些盘的边界环路不生成 $H_1(T^2)$，从而以否定方式回答了维特尔博的问题。
• 新辛容量满足单调性、共形性和非平凡性；$c_L(B^{2n}(1)) = \pi/n$ 且 $c_L(Z^{2n}(1)) = \pi$。
• 容量 $c_L$ 区分了 $\mathbb{C}^n$ 中的球与柱体，不同于大多数已知容量，显示出 $c_L(B^{2n}(1)) < c_L(Z^{2n}(1))$。
• 定理 1.22 中的估计 $c^{{\mathbb{C}}{\mathbb{P}}^{n}}(T^{n}) \geq 2(n+1)$ 比 $n \geq 2$ 时的基于体积的估计 $C_n$ 更为紧致。