[论文解读] Quadratic Binomial APN Functions and Absolutely Irreducible Polynomials

Eimear Byrne, Gary McGuire|ArXiv.org|Oct 24, 2008

Coding theory and cryptography参考文献 24被引用 5

一句话总结

本文利用代数几何与Weil估计，研究特征为2的有限域上二次二项式函数的几乎完美非线性（APN）性质，证明在许多情况下此类函数在无限多个扩张上并非APN。关键贡献在于基于关联多项式绝对不可约性的判别准则，证明当满足特定数论条件与不可约性条件时，某些二次二项式族在基域的无限多个扩张上均不满足APN性质。

ABSTRACT

We show that many quadratic binomial functions on a finite field of characteristic 2 are not APN infinitely often. This is of interest in the light of recent discoveries of new families of quadratic binomial APN functions. The proof uses the Weil bound from algebraic geometry.

研究动机与目标

• 确定形如 $ cx^{2^i+2^j} + dx^{2^u+2^v} $ 的二次二项式函数在 $ GF(2^m) $ 的无限多个扩张上不满足APN性质的条件。
• 通过分析超越经典Gold型 $ 2^j + 1 $ 的更一般二次指数 $ 2^j + 2^k $，拓展先前关于APN函数的研究结果。
• 应用代数几何工具——特别是Weil估计与绝对不可约多项式性质——以建立非APN行为的理论依据。
• 基于关联齐次多项式的不可约性，建立一个理论框架，用以排除无限多个二次二项式函数作为APN函数的可能性。

提出的方法

• 作者从函数 $ f(x) = x^{2^i+1} + \nu x^{2^s(2^t+1)} $ 定义一个齐次多项式 $ H(x,y) $，该多项式捕捉了函数的微分结构。
• 他们利用Weil估计对与函数微分均匀性相关的方程的解数进行估计。
• 证明依赖于对 $ H(x,y) $ 奇点的分析，特别是 $ [1:0:0] $ 和 $ [1:a:0] $ 等奇点的重数，以限制其在有限域扩张上的可能因式分解形式。
• 他们应用伽罗瓦理论论证与中国剩余定理，研究 $ H(x,y) $ 在 $ GF(q^n) $ 上的因式分解，证明非平凡因式分解意味着 $ n $ 整除与指数相关的某些整数。
• 他们证明：若 $ H(x,y) $ 在 $ K = GF(2^m) $ 上绝对不可约，且 $ (t, 2^s - 1) = 1 $ 或 $ (t-i, s) = 1 $，则 $ f $ 在无限多个扩展上不满足APN性质。
• 该方法将问题归约为双变量多项式不可约性检验，并利用代数几何结果，包括关于因式分解中重数约束的引理5。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，二次二项式函数 $ f(x) = x^{2^i+1} + \nu x^{2^s(2^t+1)} $ 在 $ GF(2^m) $ 的无限多个扩张上不满足APN性质？
• RQ2 关联多项式 $ H(x,y) $ 的绝对不可约性与 $ f $ 的APN性质之间有何关系？
• RQ3 能否利用如 $ (t, 2^s - 1) = 1 $ 或 $ (t-i, s) = 1 $ 等数论条件，排除无限多个APN函数族？
• RQ4 重数为 $ 2^s - 1 $ 和 $ 2^s $ 的奇点在决定 $ H(x,y) $ 在有限域扩张上的因式分解行为中起什么作用？

主要发现

• 若 $ i $ 不整除 $ t $，则函数 $ f(x) = x^{2^i+1} + \nu x^{2^s(2^t+1)} $ 在 $ GF(2^m) $ 的无限多个扩张上不满足APN性质。
• 若 $ H(x,y) $ 在 $ K = GF(2^m) $ 上不可约，且 $ (t, 2^s - 1) = 1 $，则 $ f $ 在无限多个扩展上不满足APN性质。
• 若 $ H(x,y) $ 不可约且 $ (t-i, s) = 1 $，则 $ f $ 在无限多个扩展上不满足APN性质。
• 在 $ GF(2^{10}) $ 上的偶发APN二项式 $ x^3 + u x^{36} $ 仅在有限多个扩展上为APN，通过证明 $ H_u(x,y) $ 绝对不可约得以验证。
• 对于族 $ x^{2^i+1} + u x^{2^{k+i} + 2^{(r-1)k}} $（其中 $ r=3,4 $），当 $ i > 1 $ 时，由于 $ i $ 不整除 $ t = (r-1)k - i $，函数在无限多个扩展上不满足APN性质。
• 证明表明：若 $ H(x,y) $ 在 $ GF(2^{30}) $ 上分解为3个11次因式，则与 $ K[x] $ 中存在一个53次不可约因式矛盾，从而排除此类因式分解。