[论文解读] Quadratic Exponential Semimartingales and Application to BSDEs with jumps

Nicole El Karoui, Anis Matoussi+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 22被引用 18

一句话总结

本文引入一类新的二次指数局部鞅，用于建立带跳过程和无界终端条件的倒向随机微分方程（BSDEs）的存在性结果。通过将Barrieu与El Karoui的框架扩展至跳跃扩散模型，作者在涉及指数跳跃系数的广义二次增长条件下证明了解的存在性，方法包括对偶表示与比较定理。

ABSTRACT

In this paper, we study a class of Quadratic Backward Stochastic Differential Equations (QBSDE in short) with jumps and unbounded terminal condition. We extend the class of quadratic semimartingales introduced by Barrieu and El Karoui (2013) in the jump diffusion model. The properties of these class of semimartingales lead us to prove existence result for the solution of a quadratic BSDEs.

研究动机与目标

• 解决终端条件无界时，带跳二次BSDE缺乏存在性结果的问题。
• 将二次局部鞅类扩展至包含跳跃成分，受Barrieu与El Karoui连续情形的启发。
• 在涉及指数跳跃项的广义二次增长条件下，建立解的存在性。
• 通过q_exp(l,c,δ)结构条件，从前进视角表征解的性质。
• 利用对偶表示与比较定理控制解的增长并确保收敛性。

提出的方法

• 定义q_exp(l,c,δ)结构条件，通过z和u的指数型表达式有界驱动项f。
• 引入典型生成器f(t,y,z,u) = (δ/2)|z|² + (1/δ)j(δu)，其中j(δu)捕捉指数跳跃行为。
• 利用熵过程ρ_δ,t(η_T) = (1/δ)E[exp(δη_T)|F_t]作为典型BSDE的解。
• 通过在局部鞅测度上的优化实现对偶表示，以控制解的上界。
• 通过截断与Lipschitz情形下的比较定理，构造逼近序列(Y^{n,m})。
• 通过证明一致可积性与在q_exp结构下的稳定性，结合指数不等式，证明收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当终端条件无界时，能否建立带跳二次BSDE解的存在性？
• RQ2 如何将二次增长条件扩展至包含驱动项中的指数型跳跃成分？
• RQ3 何种结构条件可确保在跳跃与无界终端数据存在下解的存在性？
• RQ4 对偶表示方法能否适应跳跃扩散设定以控制解的增长？
• RQ5 典型生成器f = (δ/2)|z|² + (1/δ)j(δu)在解的构造中起何种作用？

主要发现

• 本文在q_exp(l,c,δ)结构条件下，建立了带跳与无界终端条件的二次BSDE解的存在性。
• 解被表征为二次指数局部鞅，将连续情形推广至跳跃过程。
• 熵过程ρ_δ,t(η_T)为生成器f(t,y,z,u) = (δ/2)|z|² + (1/δ)j(δu)的典型BSDE提供了解。
• 通过对局部鞅测度的优化实现对偶表示，得到解的上界，确保一致可积性。
• 将比较定理应用于截断逼近(Y^{n,m})，通过稳定性证明收敛性与存在性。
• 解满足不等式Y^{n,m}_σ ≥ ρ_σ[S^c_σ,T |ξ_T| + ∫_σ^T S^c_σ,s |l_s| ds]，表明通过熵期望实现控制。