[论文解读] Quantale-valued Approach Spaces via Closure and Convergence

Hongliang Lai, Walter Tholen|arXiv (Cornell University)|Apr 29, 2016

Fuzzy and Soft Set Theory参考文献 14被引用 6

一句话总结

本文通过闭包与超滤子收敛引入了量值上的方法空间，当量值 V 为完全分配时，建立了 V-闭包空间与 V-方法空间之间的等价性。该研究将已知的拓扑空间（V=2）、度量型方法空间（V=[0,∞]）和概率方法空间（V=∆）的结果统一起来，通过松弛分配律和基变换函子，统一了其范畴与代数结构。

ABSTRACT

For a quantale $\mathsf{V}$ we introduce $\mathsf{V}$-approach spaces via $\mathsf{V}$-valued point-set-distance functions and, when $\mathsf{V}$ is completely distributive, characterize them in terms of both, so-called closure towers and ultrafilter convergence relations. When $\mathsf{V}$ is the two-element chain $\mathsf{2}$, the extended real half-line $[0,\infty]$, or the quantale ${\bfΔ}$ of distance distribution functions, the general setting produces known and new results on topological spaces, approach spaces, and the only recently considered probabilistic approach spaces, as well as on their functorial interactions with each other.

研究动机与目标

• 通过量值构建方法空间的统一框架，扩展经典拓扑与度量概念。
• 当 V 为完全分配时，通过闭包塔与超滤子收敛关系表征 V-方法空间。
• 建立 V-方法空间与超滤子单子及 V-幂集单子上的松弛代数之间的范畴等价性。
• 将已知的关于拓扑、度量与概率方法空间的结果推广为单一的基于量值的形式系统。
• 研究基变换函子及其在将子范畴如 Top 嵌入 App 与 ProbApp 中的作用。

提出的方法

• 通过 V-值点集距离函数 δ: X × PX → V 定义 V-方法空间，满足推广 Lawvere 度量与 Lowen 方法空间公理的公理。
• 通过满足自反性与传递性的闭包塔（c: PX → VX）表征 V-方法空间，推广了拓扑空间中闭包算子的概念。
• 利用松弛分配律 β: U ∘ PV ⇒ PV ∘ U 将超滤子单子 U 与 V-幂集单子 PV 联系起来，实现松弛 (U, V)-代数的构造。
• 应用 [19] 中的松弛代数与代数函子理论，证明当 V 为完全分配时，V-方法空间与松弛 (U, V)-代数等价。
• 通过量值同态 ϕ: V → W 的基变换函子，关联不同类别的 V-方法空间，如 App 与 ProbApp。
• 应用量值之间的伴随对（如 ι: 2 → V，σ: [0,∞] → ∆）通过 Bϕ 函子导出 Top 嵌入 App 与 App 嵌入 ProbApp 的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将方法空间推广到统一拓扑、度量与概率结构的量值设定下？
• RQ2 何种量值 V 的条件可确保 V-方法空间能通过闭包塔与超滤子收敛等价表征？
• RQ3 基变换函子如何关联不同类别的 V-方法空间，如 Top、App 与 ProbApp？
• RQ4 松弛分配律在连接单子 (U, P) 与量值 (V) 以定义方法空间的松弛代数中起何作用？
• RQ5 能否通过相同的范畴论工具统一导出 Top 嵌入 App 与 App 嵌入 ProbApp？

主要发现

• 对任意完全分配的量值 V，V-方法空间与松弛 (U, V)-代数等价，通过超滤子收敛提供了统一的表征。
• 当 V = ∆（距离分布函数的量值）时，本文通过超滤子收敛建立了概率方法空间的新表征，扩展了已知结果。
• 当 V 为整值时，范畴 Top 全然且忠实嵌入 App 中，且同时为反射子范畴与核心flective 子范畴，其核心flector 为 Bπ，反射子为 Bo。
• App 全然且忠实嵌入 ProbApp 中，且同时为反射子范畴与核心flective 子范畴，其反射子为 Bλ，核心flector 为 Bρ，均由量值同态 σ: [0,∞] → ∆ 导出。
• 当 V = [0,∞] 时，结果恢复了经典方法空间中点集距离函数与超滤子收敛之间的等价性。
• 通过伴随对量值同态（如 ι: 2 → V，σ: [0,∞] → ∆）构造 Bϕ-函子，为关联不同类别的方法空间提供了系统化方法。