[论文解读] Quantitative bounds for Gowers uniformity of the Möbius and von Mangoldt functions

Terence Tao, Joni Teräväinen|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2021

Analytic Number Theory Research参考文献 34被引用 4

一句话总结

本文為 Möbius 函數與 von Mangoldt 函數在區間 [N] 上的 Gowers 均勻性範數建立了有效且可量化的界限，誤差項形式為 $ O((\log\log N)^{-c}) $，適用於所有 $ k \geq 1 $。這些界限使首次對整數中有限複雜度線性系統解的數量實現定量控制成為可能，同時也首次實現了對具有平移質數差異的 $ k $-項等差數列之無解集合大小的有效界限。

ABSTRACT

We establish quantitative bounds on the $U^k[N]$ Gowers norms of the Möbius function $μ$ and the von Mangoldt function $Λ$ for all $k$, with error terms of shape $O((\log\log N)^{-c})$. As a consequence, we obtain quantitative bounds for the number of solutions to any linear system of equations of finite complexity in the primes, with the same shape of error terms. We also obtain the first quantitative bounds on the size of sets containing no $k$-term arithmetic progressions with shifted prime difference.

研究动机与目标

• 為所有 $ k \geq 1 $ 建立 Möbius 與 von Mangoldt 函數在 $ U^k[N] $ Gowers 均勻性範數上的有效且可量化的界限。
• 提供形式為 $ O((\log\log N)^{-c}) $ 的明確誤差項，超越先前無效或定性結果。
• 應用這些界限，取得整數中有限複雜度線性系統解數量的定量漸近行為。
• 推導出具有平移質數差異之 $ k $-項等差數列無解集合大小的首個有效定量界限。

提出的方法

• 使用 Cramér 模型 $ \Lambda_{\text{Cram\'{e}r},w} $ 作為 von Mangoldt 函數的主導函數，其中 $ w = \log^{1/100}N $，以控制偽隨機性。
• 結合圓法、指數和估計與 Plancherel 恆等式，以控制 $ U^k[N] $ 範數。
• 應用 Gowers 範數的逆猜想與 Möbius 函數對 nilsequence 的強正交性。
• 使用尼爾流形中多項式序列的分解定理，將乘法函數分解為結構化與隨機類似成分。
• 應用三角不等式與 Gowers 範數的穩定性估計，比較 $ \Lambda $ 與其 Cramér 近似值。
• 使用篩法技術與 Möbius 偽隨機性原理，控制 $ U^k $ 範數中的誤差項。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否為所有 $ k \geq 1 $ 的 Gowers 均勻性範數 $ \|\mu\|_{U^k[N]} $ 與 $ \|\Lambda\|_{U^k[N]} $ 建立有效且可量化的界限？
• RQ2 此類界限中可達的最佳誤差項為何？能否使其形式為 $ O((\log\log N)^{-c}) $？
• RQ3 這些界限能否用於對整數中有限複雜度線性系統的解數量實現定量控制？
• RQ4 能否首次獲得具有平移質數差異之 $ k $-項等差數列無解集合大小的有效定量界限？

主要发现

• 本文建立 $ \|\mu\|_{U^k[N]} \ll (\log\log N)^{-c} $ 與 $ \|\Lambda\|_{U^k[N]} \ll (\log\log N)^{-c} $，適用於所有 $ k \geq 1 $，且有效隱含常數依賴於 $ k $。
• 這些界限產生了整數中有限複雜度線性系統解數量的首個有效誤差項，形式為 $ O((\log\log N)^{-c}) $。
• 本文首次取得 $[N]$ 子集中不包含形如 $ p-1 $（$ p $ 為質數）之差異的 $ k $-項等差數列的大小之定量界限。
• 研究成果依賴於 Möbius 函數對 nilsequence 的強正交性，以及 Gowers 範數逆猜想的解決。
• 誤差項 $ O((\log\log N)^{-c}) $ 是有效的，其來源為指數和估計、篩法與圓法的結合。
• 分析顯示，von Mangoldt 函數在 $ U^k[N] $ 範數下可被 Cramér 模型 $ \Lambda_{\text{Cram\'{e}r},w} $（其中 $ w = \log^{1/100}N $）良好近似，其誤差如所列。