[论文解读] Quantitative invertibility of random matrices: a combinatorial perspective

Vishesh Jain|arXiv (Cornell University)|Aug 29, 2019

Random Matrices and Applications参考文献 29被引用 5

一句话总结

本文建立了对 $ n \times n $ 随机矩阵 $ M_n = M + N_n $ 的最小奇异值的精确、高概率界，其中 $ M $ 的算子范数至多为 $ \exp(n^c) $，$ N_n $ 的元素为均值为 0、方差为 1 的独立同分布复数。通过一种新颖的组合方法，避免使用逆 Littlewood–Offord 定理和网构造，证明了奇异概率为 $ O(\exp(-n^c)) $，显著改进了此前对多项式增长和指数增长 $ M $ 的结果，并将逆 Littlewood–Offord 理论中的计数问题解法扩展至一般复变量。

ABSTRACT

We study the lower tail behavior of the least singular value of an $n imes n$ random matrix $M_n := M+N_n$, where $M$ is a fixed complex matrix with operator norm at most $\exp(n^{c})$ and $N_n$ is a random matrix, each of whose entries is an independent copy of a complex random variable with mean $0$ and variance $1$. Motivated by applications, our focus is on obtaining bounds which hold with extremely high probability, rather than on the least singular value of a typical such matrix. This setting has previously been considered in a series of influential works by Tao and Vu, most notably in connection with the strong circular law, and the smoothed analysis of the condition number, and our results improve upon theirs in two ways: (i) We are able to handle $\|M\| = O(\exp(n^{c}))$, whereas the results of Tao and Vu are applicable only for $M = O( ext{poly(n)})$. (ii) Even for $M = O( ext{poly(n)})$, we are able to extract more refined information -- for instance, our results show that for such $M$, the probability that $M_n$ is singular is $O(\exp(-n^{c}))$, whereas even in the case when $ξ$ is a Bernoulli random variable, the results of Tao and Vu only give a bound of the form $O_{C}(n^{-C})$ for any constant $C>0$. As opposed to all previous works obtaining such bounds with error rate better than $n^{-1}$, our proof makes no use either of the inverse Littlewood--Offord theorems, or of any sophisticated net constructions. Instead, we show how to reduce the problem from the (complex) sphere to (Gaussian) integer vectors, where it is solved directly by utilizing and extending a combinatorial approach to the singularity problem for random discrete matrices, recently developed by Ferber, Luh, Samotij, and the author.

研究动机与目标

• 建立对任意固定 $ M $ 满足范数 $ \leq \exp(n^c) $ 的随机矩阵 $ M_n = M + N_n $ 的定量可逆性界，不仅限于多项式有界的 $ M $。
• 通过实现指数衰减的奇异概率 $ O(\exp(-n^c)) $，超越 Tao 和 Vu 的先前结果，即使在 $ M = O(\text{poly}(n)) $ 的情况下，也优于多项式界。
• 发展一种新的组合框架，避免依赖逆 Littlewood–Offord 定理和复杂的网构造。
• 将逆 Littlewood–Offord 理论中的计数问题解法从 Rademacher 扩展至一般复值独立同分布变量。
• 为具有通用分布的随机矩阵提供一种直接、构造性的奇异概率证明，适用于实数和复数情形。

提出的方法

• 通过一种新颖的约化技术，将问题从复数球面约化至高斯整数向量。
• 采用 Ferber、Luh、Samotij 与作者共同开发的组合框架，分析离散随机矩阵的奇异概率。
• 引入对三元组 $ (I, (i_j), (\ell_{j,i})) $ 的结构化计数方法，以界定在 $ \mathbb{F}_p + i\mathbb{F}_p $ 上线性方程的解数。
• 使用涉及相容序列 $ \bm{a} \in (\mathbb{F}_p + i\mathbb{F}_p)^n $ 及其与解三元组相容性的概率计数论证。
• 通过结合相容 $ \bm{a} $-向量的数量与解三元组的数量，推导出集合 $ \bm{B}_{k,s,\geq t}^\alpha(n) $ 大小的上界，该集合控制奇异概率。
• 将逆 Littlewood–Offord 计数问题扩展至一般复随机变量，超越 Nguyen 和 Vu 的最优逆定理估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ \|M\| \leq \exp(n^c) $ 时，是否可将 $ M_n = M + N_n $ 的奇异概率界为 $ O(\exp(-n^c)) $，而不仅限于多项式有界情形？
• RQ2 在避免依赖逆 Littlewood–Offord 定理和网构造的同时，组合方法是否仍能实现最优尾部界？
• RQ3 对于一般复独立同分布变量，线性方程 $ \sum_{i=1}^{2k} \epsilon_i a_{\ell_i} = 0 $ 在 $ \mathbb{F}_p + i\mathbb{F}_p $ 上的精确解数是多少？
• RQ4 该组合方法如何改进复数情形下逆 Littlewood–Offord 计数问题的最佳已知估计？
• RQ5 该框架是否可被调整以对小的 $ \eta $ 给出最小奇异值 $ s_n(M_n) \leq \eta $ 的精确界，且具有高概率？

主要发现

• 本文证明了对任意满足 $ \|M\| \leq \exp(n^c) $ 的固定 $ M $，有 $ \Pr(s_n(M_n) = 0) = O(\exp(-n^c)) $，显著优于 Tao 和 Vu 的 $ O(n^{-C}) $ 界。
• 当 $ M = O(\text{poly}(n)) $ 时，结果给出指数衰减的奇异概率，而 Tao 和 Vu 的界仅为多项式衰减。
• 该方法避免使用逆 Littlewood–Offord 定理和网构造，转而依赖于对整数向量和有限域向量的直接组合计数。
• 逆 Littlewood–Offord 理论中的计数问题解法从 Rademacher 扩展至一般复独立同分布变量，优于 Nguyen 和 Vu 的估计。
• 该框架提供了相容解三元组数量的精确界，从而导出集合 $ \bm{B}_{k,s,\geq t}^\alpha(n) $ 大小的紧致上界，该集合控制最小奇异值的尾部概率。
• 证明给出了定量界 $ \Pr(s_n(M_n) \leq \eta) \lesssim \sqrt{n}\eta + \exp(-n^c) $，与 Rudelson–Vershynin 对次高斯分布的最优形式一致，但现适用于一般均值为零、方差为 1 的复数分布。