[论文解读] Quantitative $(p,q)$ theorems in combinatorial geometry

David Rolnick, Pablo Soberón|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2015

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 27被引用 9

一句话总结

本文通过将经典结果推广到衡量凸集大小的函数（如体积、表面积和离散点数）来建立组合几何中的定量 $(p,q)$ 定理。证明表明，若在一族集合中，每 $p$ 个集合都存在 $q$ 个相交子集且其函数值较大，则整个族要么具有有界横截，要么具有较大的公共交集，且显式界依赖于函数和维度。

ABSTRACT

We show quantitative versions of classic results in discrete geometry, where the size of a convex set is determined by some non-negative function. We give versions of this kind for the selection theorem of Bárány, the existence of weak epsilon-nets for convex sets and the $(p,q)$ theorem of Alon and Kleitman. These methods can be applied to functions such as the volume, surface area or number of points of a discrete set. We also give general quantitative versions of the colorful Helly theorem for continuous functions.

研究动机与目标

• 将经典的 $(p,q)$ 定理推广到以连续或离散函数衡量凸集大小的定量设定。
• 解决在基于函数的交集条件下，获得横截点或公共交集大小的有效界这一挑战。
• 将现有的关于体积、格点和表面积的定量 Helly 型定理统一并推广到一个单一框架中。
• 为函数支持定量 $(p,q)$ 定理提供一个通用准则，适用于连续和离散测度。
• 为连续函数建立定量 Helly 定理的彩色版本，显式依赖于误差参数 $\varepsilon$。

提出的方法

• 定义一类函数 $f: \mathcal{C}_d \to \mathbb{R}^+ \cup \{\infty\}$ 的通用类，其满足 Helly 定理并具有浮动体构造。
• 引入函数 $f$ 的浮动体 $K(f, \varepsilon)$ 的概念，其捕捉凸集中 $f$ 值至少为 $1 - \varepsilon$ 的最大子集。
• 利用浮动体构造将问题约化为有限子族条件，借助 Helly 数 $H(f,d,\varepsilon)$。
• 应用着色与极值半空间论证证明彩色 Helly 定理：若每个彩色 $h$-元组的 $f$-大小至少为 1，则存在某个颜色类的 $f$-大小至少为 $1 - \delta(\varepsilon)$。
• 证明函数 $f(K) = \text{vol}(K)$ 满足所需条件，从而得出颜色类数量的界为 $\Theta(\varepsilon^{-(d-1)/2})$。
• 将该方法适配于离散函数，如 $f(K) = |K \cap S|$，其中 $S$ 为具有有限 Helly 数的离散集，包括整数格点。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种函数 $f$ 的条件下，凸集在 $\mathbb{R}^d$ 中的定量 $(p,q)$ 定理成立？
• RQ2 能否将经典 $(p,q)$ 定理加强，以保证当交集大小由体积或点数衡量时，存在较大的公共交集或横截？
• RQ3 是否可以为连续函数（如体积）证明彩色 Helly 定理，使得颜色类的数量与单色 Helly 数匹配？
• RQ4 在体积型彩色 Helly 定理中，所需颜色类数量对误差参数 $\varepsilon$ 的最优依赖关系是什么？
• RQ5 分数或彩色 Helly 定理是否需要比其单色对应物更多的族，对于相同的函数？

主要发现

• 本文建立了一个通用框架，使得对于任何满足 Helly 定理且具有浮动体的函数 $f$，定量 $(p,q)$ 定理在 $\mathbb{R}^d$ 中的凸集上成立，包括体积、表面积和离散点数。
• 对于体积函数，彩色 Helly 定理中所需的颜色类数量为 $\Theta(\varepsilon^{-(d-1)/2})$，与单色 Helly 数一致。
• 体积型彩色 Helly 定理保证存在某个颜色类的体积至少为 $1 - c\varepsilon^{2/(d+1)}$，其中常数 $c$ 仅依赖于 $d$。
• 对于任意具有有限 Helly 数的离散集 $S$，离散 $(p,q)$ 定理成立，即若每 $c(k,d)$ 个集合都包含 $k$ 个 $S$ 中的点，则整个族包含 $k$ 个 $S$ 中的点。
• 该方法给出了体积型 Helly 定理的新证明，显式依赖于 $\varepsilon$ 和维度 $d$。
• 结果将 Doignon 定理和先前的定量 Helly 定理推广到更广泛的函数类，统一了离散与连续情形。