[论文解读] Quantitative Volume Space Form Rigidity Under Lower Ricci Curvature Bound

Lina Chen, Xiaochun Rong+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 24, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 34被引用 7

一句话总结

本文建立了具有下界 Ricci 曲率的黎曼流形的定量刚性定理，表明若其万有覆叠中的局部体积增长接近最大（相对于曲率 $H = \pm 1$ 或 $0$ 的空间形式），则该流形微分同胚于一个空间形式，且在 Gromov-Hausdorff 拓扑下接近一个空间形式。结果推广了经典刚性定理，并在体积与曲率条件下提供了有效的稳定性。

ABSTRACT

Let $M$ be a compact $n$-manifold of $\operatorname{Ric}_M\ge (n-1)H$ ($H$ is a constant). We are concerned with the following space form rigidity: $M$ is isometric to a space form of constant curvature $H$ under either of the following conditions: (i) There is $ρ>0$ such that for any $x\in M$, the open $ρ$-ball at $x^*$ in the (local) Riemannian universal covering space, $(U^*_ρ,x^*) o (B_ρ(x),x)$, has the maximal volume i.e., the volume of a $ρ$-ball in the simply connected $n$-space form of curvature $H$. (ii) For $H=-1$, the volume entropy of $M$ is maximal i.e. $n-1$ ([LW1]). The main results of this paper are quantitative space form rigidity i.e., statements that $M$ is diffeomorphic and close in the Gromov-Hausdorff topology to a space form of constant curvature $H$, if $M$ almost satisfies, under some additional condition, the above maximal volume condition. For $H=1$, the quantitative spherical space form rigidity improves and generalizes the diffeomorphic sphere theorem in [CC2].

研究动机与目标

• 在下界 Ricci 曲率条件下，建立经典空间形式刚性定理的定量版本。
• 证明在万有覆叠中几乎达到最大局部体积的流形微分同胚于空间形式。
• 将 Cheeger–Colding 的微分同胚球面定理推广至定量、稳定的情形。
• 引入体积熵与直径约束，以实现负曲率下类似双曲空间形式的刚性。
• 在曲率、体积、直径及与空间形式模型的局部体积偏差方面，提供有效的估计。

提出的方法

• 通过黎曼万有覆叠使用局部重绕体积，将局部几何与空间形式进行比较。
• 应用 Bishop 体积比较与 Cheeger–Colding 的线段不等式，以控制体积与梯度增长。
• 采用 Poincaré 与 Dirichlet 型不等式，估计解与指数函数之间梯度差的 $L^2$-范数。
• 利用截断函数与 Bochner 公式，控制积分估计中 Hessian 与 Ricci 曲率项。
• 引入一个函数 $\tilde{f}$，使其满足模型方程，以与 $e^u = e^{|px| - |pq|}$ 进行比较，从而通过拉普拉斯与 Hessian 估计实现比较。
• 通过体积与曲率的 $\epsilon$-接近性，推导出 $\Psi(\epsilon|n,\rho,v)$-等距估计，其中 $\Psi \to 0$ 当 $\epsilon \to 0$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在什么条件下，满足 $\operatorname{Ric}_M \geq (n-1)H$ 且在万有覆叠中具有近乎最大局部体积的流形会微分同胚于一个空间形式？
• RQ2 此类流形与空间形式之间的 Gromov-Hausdorff 距离如何依赖于其与最大体积的偏离程度？
• RQ3 能否将微分同胚球面定理加强为包含体积与曲率有界下的有效稳定性？
• RQ4 在负曲率下，直径控制在定量刚性中起什么作用？
• RQ5 在负曲率流形的刚性中，体积熵与局部体积偏差如何相互作用？

主要发现

• 当 $H = 1$ 时，若 $\operatorname{Ric}_M \geq n-1$，$\operatorname{vol}(\tilde{M}) \geq v$，且对所有 $x$ 有 $\frac{\operatorname{vol}(B_\rho(x^*))}{\operatorname{vol}(\underline{B}_\rho^1)} \geq 1 - \epsilon$，则 $M$ 通过一个 $\Psi(\epsilon|n,\rho,v)$-等距微分同胚于一个球面空间形式。
• 对 $H = 1$ 的定量刚性结果改进并推广了 Cheeger–Colding 的微分同胚球面定理，通过引入体积与局部体积控制。
• 当 $H = -1$ 时，在 $\operatorname{Ric}_M \geq -(n-1)$，$\operatorname{diam}(M) \leq d$，$\operatorname{vol}(B_1(\tilde{p})) \geq v$，且 $\frac{\operatorname{vol}(B_\rho(x^*))}{\operatorname{vol}(\underline{B}_\rho^{-1})} \geq 1 - \epsilon$ 条件下，$M$ 通过一个 $\Psi(\epsilon|n,\rho,d,v)$-等距微分同胚于一个双曲流形。
• 结果表明 $\Psi(\epsilon|n,\rho,v) \to 0$ 当 $\epsilon \to 0$，表明在小体积偏离下具有有效稳定性。
• 证明依赖于 $|\nabla \tilde{f} - \nabla e^u|^2$ 的 $L^2$-估计，以及通过 Bochner 公式与截断技巧实现的 Hessian 控制。
• 在负曲率情况下缺乏直径控制会导致反例，表明此类有界是实现定量刚性的必要条件。