[论文解读] Quantized W-algebra of sl(2,1) : a construction from the quantization of screening operators

Jíntai Ding, Boris Feigin|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 1998

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用 7

一句话总结

本文通过分析自由场论中与量化筛子算符对易（至多相差一个全差分）的算符，构建了李超代数 𝔰𝔩(2,1) 的量化 W-代数。利用玻色化和顶点算符技术，识别出一个具有简单关联函数的唯一算符——对于玻色型筛子算符，得到量化 Virasoro 代数；对于费米型筛子算符，得到新代数，包括 𝔰𝔩(2,1) 的量化 W-代数。

ABSTRACT

Starting from bosonization, we study the operator that commute or commute up-to a total difference with of any quantized screen operator of a free field. We show that if there exists a operator in the form of a sum of two vertex operators which has the simplest correlation functions with the quantized screen operator, namely a function with one pole and one zero, then, the screen operator and this operator are uniquely determined, and this operator is the quantized virasoro algebra. For the case when the screen is a fermion, there are a family of this kind of operator, which give new algebraic structures. Similarly we study the case of two quantized screen operator, which uniquely gives us the quantized W-algebra corresponding to $sl(3)$ for the generic case, and a new algebra, which is a quantized W-algebra corresponding to ${\frak sl}(2,1)$, for the case that one of the two screening operators is or both are fermions.

研究动机与目标

• 从筛子算符的量化推导李超代数 𝔰𝔩(2,1) 的量化 W-代数。
• 识别与量化筛子算符对易（至多相差一个全差分）且关联函数复杂度最低的算符。
• 分类当筛子算符为玻色型或费米型时所得代数结构。
• 将 sl(3) 情况的构造方法推广至超代数情形，特别是 𝔰𝔩(2,1)。

提出的方法

• 采用玻色化技术，在 Fock 空间框架下表示自由场与筛子算符。
• 分析与量化筛子算符对易（至多相差一个全差分算符）的算符。
• 施加条件：候选算符与筛子算符之间的关联函数恰好有一个极点和一个零点。
• 将候选算符构作两个顶点算符之和，以满足关联函数约束。
• 将方法扩展至两个筛子算符，推导出 𝔰𝔩(3) 的量化 W-代数及 𝔰𝔩(2,1) 的新代数。
• 利用关联函数的结构唯一确定算符，从而确定代数。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪个算符与量化筛子算符对易（至多相差一个全差分）且其关联函数恰好有一个极点和一个零点？
• RQ2 筛子算符的性质（玻色型与费米型）如何影响所得代数结构？
• RQ3 能否通过两个筛子算符将 𝔰𝔩(3) 的量化 W-代数构造方法推广至超代数 𝔰𝔩(2,1)？
• RQ4 当至少一个筛子算符为费米型时，会涌现出哪些新代数结构？
• RQ5 由两个顶点算符构成的算符是否被关联函数条件唯一确定？

主要发现

• 当筛子算符为玻色型时，与之对易（至多相差一个全差分）且关联函数为一个极点、一个零点的唯一算符即为量化 Virasoro 代数。
• 对于费米型筛子算符，存在一个单参数族的此类算符，导致新的代数结构。
• 在两个筛子算符的情形下，该构造在一般情况下唯一导出 𝔰𝔩(3) 的量化 W-代数。
• 当至少一个筛子算符为费米型时，该构造导出一个新代数，被识别为李超代数 𝔰𝔩(2,1) 的量化 W-代数。
• 所得代数结构完全由关联函数性质及筛子算符的性质决定。
• 该方法为通过关联函数约束从筛子算符系统构造量化 W-代数提供了有效途径。