[论文解读] Quantum Adiabatic Computation and the Travelling Salesman Problem

Tien D. Kieu|ArXiv.org|Jan 23, 2006

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文提出了一种新颖的量子绝热算法来求解NP完全的旅行商问题（TSP），采用预言型哈密顿量，实现了计算时间和能量复杂度的多项式标度——这与以往方法不同。关键贡献在于推导出一个依赖于能量的绝热演化时间的一般下界，揭示了能量是量子计算中一种基本的复杂度资源。

ABSTRACT

The NP-complete problem of the travelling salesman (TSP) is considered in the framework of quantum adiabatic computation (QAC). We first derive a remarkable lower bound for the computation time for adiabatic algorithms in general as a function of the energy involved in the computation. Energy, and not just time and space, must thus be considered in the evaluation of algorithm complexity, in perfect accordance with the understanding that all computation is physical. We then propose, with oracular Hamiltonians, new quantum adiabatic algorithms of which not only the lower bound in time but also the energy requirement do not increase exponentially in the size of the input. Such an improvement in both time and energy complexity, as compared to all other existing algorithms for TSP, is apparently due to quantum entanglement. We also appeal to the general theory of Diophantine equations in a speculation on physical implementation of those oracular Hamiltonians.

研究动机与目标

• 解决现有针对NP完全问题（如TSP）的量子绝热算法存在的指数级时间与能量复杂度问题。
• 确立能量作为物理资源，必须与时间、空间一并纳入算法复杂度评估的考量。
• 开发一类新的预言型哈密顿量用于TSP，避免在时间和能量上均出现指数级标度。
• 通过丢番图方程理论探讨这些预言型哈密顿量的物理可实现性。
• 证明量子纠缠可能是所提算法中观察到的复杂度改进的根本原因。

提出的方法

• 利用薛定谔方程和实际演化与相位模糊状态演化之间的差异，推导出绝热计算时间的一般下界。
• 引入时间依赖的哈密顿量 H(t) = f(t)HI + g(t)HP，从初始哈密顿量 HI 插值到问题哈密顿量 HP。
• 利用演化态与参考态之间的希尔伯特空间距离，推导出依赖于问题哈密顿量 HP 相对于初始态的能量展宽 ΔIE 的最小演化时间 T_min。
• 提出一种用于TSP的预言型哈密顿量，其基态编码最短路径，采用有限维希尔伯特空间与线性插值。
• 应用丢番图方程理论，将预言型哈密顿量映射为具有整数解的物理哈密顿量，其整数解对应于有效的TSP路径。
• 证明所得到的物理哈密顿量的基态能量等于最短路径长度，从而原则上可实现物理实现。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否推导出一个明确依赖于能量的绝热计算时间下界，以反映计算的物理本质？
• RQ2 能否设计出TSP的量子绝热算法，使得其时间与能量复杂度均随城市数M呈多项式标度？
• RQ3 量子纠缠在实现NP完全问题的时间与能量多项式标度中起到何种作用？
• RQ4 是否可以利用已知的数学框架（如丢番图方程）物理实现TSP的预言型哈密顿量？
• RQ5 该算法能否通过利用量子资源，超越经典模拟的 M^M 标度，实现性能优势？

主要发现

• 推导出绝热计算时间的一般下界：T_min ≥ 2 / ΔIE，其中 ΔIE 是问题哈密顿量相对于初始态的能量展宽。
• 所提出的预言型哈密顿量方法在计算时间与能量上均实现多项式标度，且时间下界趋近于与城市数M无关的常数。
• 该算法的能量开销随M呈二次方增长，与所有先前TSP量子绝热算法中的指数增长形成鲜明对比。
• 该方法依赖于将TSP解编码于基态的预言型哈密顿量，其有限维希尔伯特空间形式支持线性插值。
• 通过丢番图方程推测其物理实现，其中由丢番图多项式构造的哈密顿量，其基态能量等于最短TSP路径长度。
• 结果表明，此前在绝热量子计算中被低估的量子纠缠，可能是实现此复杂度改进的关键。