[论文解读] Quantum adiabatic algorithm for Hilbert's tenth problem: I. The algorithm

Tien D. Kieu|ArXiv.org|Oct 8, 2003

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 10被引用 25

一句话总结

本文提出了一种量子绝热算法，声称通过将量子系统从相干态演化到编码解的哈密顿量基态，来解决希尔伯特第十问题——即判断丢番图方程是否存在非负整数解。该算法采用有限时间的绝热演化，使用时间依赖的哈密顿量，并通过测量概率超过1/2来识别解，从而借助概率性量子计算绕过经典计算中的不可判定性。

ABSTRACT

We review the proposal of a quantum algorithm for Hilbert's tenth problem and provide further arguments towards the proof that: (i) the algorithm terminates after a finite time for any input of Diophantine equation; (ii) the final ground state which contains the answer for the Diophantine equation can be identified as the component state having better-than-even probability to be found by measurement at the end time--even though probability for the final ground state in a quantum adiabatic process need not monotonically increase towards one in general. Presented finally are the reasons why our algorithm is outside the jurisdiction of no-go arguments previously employed to show that Hilbert's tenth problem is recursively non-computable.

研究动机与目标

• 提供一种物理的、有限时间的量子算法，以判定任意丢番图方程的可解性，该问题在经典计算中已被证明是递归不可计算的。
• 证明在无限维希尔伯特空间中，量子绝热演化可在有限时间内获得解，避免经典方法中通常存在的非终止性。
• 论证该算法通过依赖概率性、非确定性结果而非确定性停止，从而规避经典不可判定定理（如康托对角化）的影响。
• 建立一种基于测量概率超过1/2的判据，以识别最终哈密顿量的基态，即使该概率在演化过程中不单调增加。
• 证明该算法在对称性破缺微扰下依然有效，保持在简并情况下检测解的能力。

提出的方法

• 该算法使用时间依赖的哈密顿量 H(t) = (1−t/T)HI + (t/T)HP，将系统从K个相干态的初始态演化到编码丢番图方程的最终哈密顿量HP。
• 初始哈密顿量 HI = Σi (ai†−αi*)(ai−αi) 在占据数态上制备了相干态的叠加。
• 最终哈密顿量 HP = [D(a1†a1,…,aK†aK)]² 的构造方式使得其基态对应于丢番图方程 D(x1,…,xK)=0 的解。
• 该算法测量在时间T时系统处于任意占据数态的概率幅最大值 |⟨ψ(T)|{n}0⟩|²。
• 若该最大概率超过1/2，则对应态 |{n}0⟩ 被识别为HP的基态，表明解存在。
• 时间T通过迭代增加，直到满足概率阈值，从而在绝热条件下确保有限时间终止。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一种量子绝热算法能够解决希尔伯特第十问题，该问题在经典递归理论中已被证明是不可判定的？
• RQ2 尽管存在无限维希尔伯特空间和非对易哈密顿量，该算法是否仍能在有限时间内终止？
• RQ3 当绝热演化过程中基态布居不单调增加时，能否可靠地使用概率性判据（概率 > 1/2）识别最终哈密顿量的基态？
• RQ4 该算法如何规避依赖于确定性停止函数的经典否决定理（如康托对角论证）？
• RQ5 该算法的概率本质在规避经典可计算性限制方面起到何种作用？

主要发现

• 只要谱流中的能隙保持非零且不闭合，该算法对任意丢番图方程均可在有限时间内终止。
• 即使在绝热演化过程中基态概率不单调增加，最终基态仍可被识别为概率大于1/2的态，其识别概率优于随机猜测。
• 该算法通过使用概率性停止函数 ph(p,i,δ) 而非确定性函数，避免了经典否决论的影响，从而防止对角化矛盾。
• 基态识别判据已在两能级系统中得到证明，并通过非构造性分析与反证法推广至无限维系统。
• 在对称性破缺微扰下，该算法依然有效，且在微扰强度趋于零的极限下可恢复解。
• 针对简单丢番图方程的初步数值模拟已报告，支持该方法在希尔伯特空间无界情况下的可行性。