[论文解读] Quantum algorithm for estimating Renyi entropies of quantum states

Sathyawageeswar Subramanian, Min-Hsiu Hsieh|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 41被引用 7

一句话总结

本文提出了一种量子算法，利用一纯态量子比特（$\mathsf{DQC1}$）模型和量子奇异值变换，估算未知量子态的$\alpha$-Rényi熵。该算法在期望查询复杂度为$\mathcal{O}(1/(x\epsilon)^2)$下实现$\epsilon$的加法精度，其中$x = \frac{1}{d}\mathrm{Tr}(\rho^\alpha)$，相较于量子态层析所需$\Theta(d^2/\epsilon^2)$的样本复杂度，实现了显著改进。

ABSTRACT

We describe a quantum algorithm to estimate the $α$-Renyi entropy of an unknown density matrix $ρ\in\mathcal{C}^{d imes d}$ for $α eq 1$ by combining the recent technique of quantum singular value transformations with the method of estimating normalised traces in the one clean qubit model. We consider an oracular input model where the input state is prepared via a quantum oracle that outputs a purified version of the state, assumed to be non-singular. Our method outputs an estimate of the $α$-Renyi entropy to additive precision $ε$, using an expected total number $O\left(\frac{1}{(xε)^2} ight)$ of independent applications of a quantum circuit which coherently queries the input unitary $O\left(\frac{1}δ\log \frac{d}ε ight)$ times, in each case measuring a single output qubit. Here $δ$ is a lower cutoff on the smallest eigenvalue of $ρ$ and $x=\frac{1}{d}\!\mathop{Tr}{ρ^α}$. The expected number of measurements made in this method can be compared to results in the sample complexity model that generally require $Θ(d^2/ε^2)$ samples. Furthermore, we also show that multiplicative approximations can be obtained by iteratively using additive approximations, with an overhead logarithmic in the dimension $d$.

研究动机与目标

• 开发一种高效量子算法，用于估算未知量子态的$\alpha$-Rényi熵，尤其针对$\alpha \neq 1$的情况。
• 相较于需要$\Theta(d^2/\epsilon^2)$个态副本的完整量子态层析，降低样本复杂度。
• 利用对密度矩阵纯化版本的预言机访问（通过酉预言机），实现在无需完整态重建的前提下进行估算。
• 通过在$\mathsf{DQC1}$框架中迭代使用加法估算器，实现对熵的乘法近似，且维度$d$的对数级开销。
• 通过使用浅层电路和大量测量，为含噪声中等规模量子（NISQ）设备提供一种实用的替代方案，避免基于振幅估计算法的深层量子电路。

提出的方法

• 该算法使用块编码技术，对密度矩阵$\rho$应用量子奇异值变换，从而高效计算$\mathrm{Tr}(\rho^\alpha)$。
• 结合一纯态量子比特（$\mathsf{DQC1}$）模型与迹估算，估计$\mathrm{Tr}(\rho^\alpha)$，再通过$S_\alpha(\rho) = \frac{1}{1-\alpha}\log\left[\mathrm{Tr}(\rho^\alpha)\right]$计算$\alpha$-Rényi熵。
• 该方法假设可访问一个酉预言机，用于制备$\rho$的纯化版本，且其最小特征值有下界$\delta$，以确保非奇异。
• 通过$\mathcal{O}(1/(x\epsilon)^2)$次独立应用量子电路，实现$\epsilon$的加法精度，每次运行中相干查询输入酉矩阵$\mathcal{O}(1/\delta \log(d/\epsilon))$次。
• 对于乘法近似，算法迭代应用加法估算器，最多$\mathcal{O}(\log(d/\delta))$轮迭代，确保运行时间对目标熵的倒数呈对数依赖。
• 该方法避免了典型振幅估计算法所需的深层量子电路，因此适用于具有浅层电路和高测量次数的NISQ时代设备。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过访问纯化量子态的预言机，以低于层析复杂度的样本复杂度估算$\alpha$-Rényi熵？
• RQ2 该算法的查询复杂度与完整量子态层析或振幅估计算法相比如何？
• RQ3 能否在$\mathsf{DQC1}$框架中，通过迭代使用加法估算器，高效获得熵的乘法近似？
• RQ4 该方法在电路深度与测量次数之间的权衡如何？与变分或振幅估计算法相比有何差异？
• RQ5 熵估算是否属于$\mathsf{DQC1}$复杂度类，还是由于与$\epsilon$的反比缩放而更难？

主要发现

• 该算法以$\epsilon$的加法精度估算$\alpha$-Rényi熵，期望使用$\mathcal{O}(1/(x\epsilon)^2)$次量子电路应用，其中$x = \frac{1}{d}\mathrm{Tr}(\rho^\alpha)$。
• 每次电路的查询复杂度为$\mathcal{O}(1/\delta \log(d/\epsilon))$，其中$\delta$为$\rho$最小特征值的下界，确保数值稳定性。
• 该方法相较于层析方法有显著改进，后者需要$\Theta(d^2/\epsilon^2)$个样本，尤其在高维情形下优势明显。
• 通过迭代使用加法估算器，获得乘法近似，最多$\mathcal{O}(\log(d/\delta))$轮迭代，确保运行时间对目标熵的倒数呈二次依赖。
• 该算法专为近期待机设计，采用浅层电路和大量测量，为深层振幅估计算法提供实用替代方案。
• 期望测量次数按$\mathcal{O}(1/(x\epsilon)^2)$缩放，其中$d$不参与$x$相关项，因此当$x$不太小时效率较高。