[论文解读] Quantum algorithm for the Navier Stokes equations by using the streamfunction vorticity formulation and the lattice Boltzmann method

Ljubomir Budinski|arXiv (Cornell University)|Mar 5, 2021

Lattice Boltzmann Simulation Studies参考文献 44被引用 16

一句话总结

本文提出了一种新颖的量子算法，用于在NISQ设备上使用流函数-涡度公式和格子玻尔兹曼方法（LBM）求解二维Navier-Stokes方程。该算法将LBM分解为量子步骤——初始化、碰撞、传播、边界条件处理以及宏观变量计算，采用标准形式编码和量子行走技术，对二维腔流问题实现了与经典模拟完全一致的结果。

ABSTRACT

A new algorithm for solving the Navier-Stokes equations (NSE) on a quantum device is presented. For the fluid flow equations the stream function-vorticity formulation is adopted, while the lattice Boltzmann method (LBM) is utilized for solving the corresponding system of equations numerically for one time step. Following the nature of the lattice Boltzmann method, the proposed quantum algorithm consists of five major sections: initialization, collision, propagation, boundary condition implementation, and calculation of macroscopic quantities. The collision and boundary condition step is quantumly implemented by applying the standard-form encoding approach, while the quantum walk procedure is applied for the propagation step. The algorithm is implemented by using IBM's quantum computing software development framework Qiskit, while for the verification purposes two-dimensional (2D) cavity flow is simulated and compared with classical code.

研究动机与目标

• 开发一种在近期量子设备上求解Navier-Stokes方程的量子算法。
• 利用格子玻尔兹曼方法（LBM）以提升流体动力学量子模拟中的数值稳定性和效率。
• 使用量子线路实现LBM的各个步骤——碰撞、传播、边界条件处理以及宏观变量计算。
• 针对基准流体流动问题，将量子算法与经典模拟进行对比验证。
• 识别并解决量子算法效率中的关键瓶颈，尤其是态制备和测量开销。

提出的方法

• 采用流函数-涡度方法重述Navier-Stokes方程，将系统简化为一组耦合的偏微分方程。
• 使用D2Q5格子配置的格子玻尔兹曼方法（LBM）对一个时间步长的方程进行离散化。
• 量子算法实现LBM的五个步骤：初始化、碰撞、传播、边界条件应用以及宏观量计算。
• 碰撞和边界条件步骤通过标准形式编码和受控酉操作实现。
• 传播步骤通过使用多控制X门的量子行走过程实现。
• 该算法使用IBM的Qiskit框架实现并验证，采用16×16格子对二维腔流问题进行模拟。

实验结果

研究问题

• RQ1 格子玻尔兹曼方法能否被有效适配为求解Navier-Stokes方程的量子算法？
• RQ2 如何利用稳定高效的数值框架，在量子计算机上编码并模拟由Navier-Stokes方程描述的非线性流体动力学？
• RQ3 每个LBM步骤的量子线路复杂度如何，特别是CNOT门和多控制门的数量？
• RQ4 对于基准的二维腔流问题，量子模拟结果与经典解相比如何？
• RQ5 当前量子算法设计中的主要可扩展性和效率瓶颈是什么？

主要发现

• 该量子算法成功模拟了二维腔流问题，量子结果与经典结果在涡度等高线和速度大小上完全一致。
• 态制备步骤的总CNOT数量按O(2^n)增长，是主要的复杂度来源。
• 碰撞和边界条件步骤的复杂度与系统规模无关，表现为O(1)，表明这些组件的开销较低。
• 传播步骤每算符需要O(n)个多控制X门，由于存在四个R和四个L算符，每增加一个量子比特需额外八个此类门。
• 宏观变量计算步骤与输入规模无关，无需额外门，复杂度为O(1)。
• 由于测量后量子态坍缩，每个时间步需重复模拟2^{2n}次，被识别为重大的效率瓶颈。