[论文解读] Quantum and classical spin network algorithms for $q$-deformed Kogut-Susskind gauge theories

Torsten V. Zache, Daniel González-Cuadra+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2023

Quantum many-body systems参考文献 73被引用 7

一句话总结

本文提出了一种通过量子群形变实现非阿贝尔规范场论无限维希尔伯特空间正则化的 $q$-形变科古特-苏斯金德晶格规范场论，使经典张量网络模拟与可扩展量子算法均成为可能。该研究在 $k=\mathcal{O}(10)$ 时实现对连续极限的收敛，并提供了可在量子硬件上实现实时演化的解析对角化 Trotter 分解。

ABSTRACT

Treating the infinite-dimensional Hilbert space of non-abelian gauge theories is an outstanding challenge for classical and quantum simulations. Here, we introduce $q$-deformed Kogut-Susskind lattice gauge theories, obtained by deforming the defining symmetry algebra to a quantum group. In contrast to other formulations, our proposal simultaneously provides a controlled regularization of the infinite-dimensional local Hilbert space while preserving essential symmetry-related properties. This enables the development of both quantum as well as quantum-inspired classical Spin Network Algorithms for $q$-deformed gauge theories (SNAQs). To be explicit, we focus on SU(2)$_k$ gauge theories, that are controlled by the deformation parameter $k$ and converge to the standard SU(2) Kogut-Susskind model as $k ightarrow \infty$. In particular, we demonstrate that this formulation is well suited for efficient tensor network representations by variational ground-state simulations in 2D, providing first evidence that the continuum limit can be reached with $k = \mathcal{O}(10)$. Finally, we develop a scalable quantum algorithm for Trotterized real-time evolution by analytically diagonalizing the SU(2)$_k$ plaquette interactions. Our work gives a new perspective for the application of tensor network methods to high-energy physics and paves the way for quantum simulations of non-abelian gauge theories far from equilibrium where no other methods are currently available.

研究动机与目标

• 为在经典与量子环境下模拟具有无限维希尔伯特空间的非阿贝尔规范场论提供解决方案。
• 克服现有正则化方法的局限性，如有限子群截断、非幺正的平面元算符以及高量子比特资源需求。
• 开发一种在保持规范对称性与幺正性的同时，通过形变参数 $k$ 实现受控正则化的形式化方法。
• 实现非阿贝尔规范场论中实时演化过程的高效张量网络模拟与可扩展量子算法。

提出的方法

• 通过将 SU(2) 李代数替换为量子群 $\mathcal{U}_q(\mathfrak{su}(2))$，构建 $q$-形变科古特-苏斯金德（qKS）晶格规范场论，其参数由 $k$ 控制。
• 采用自旋网络态作为规范不变基，确保精确实现高斯定律，并保持拓扑与对称性质。
• 利用无限投影纠缠对态（iPEPS）变分 ansatz 进行变分基态模拟，研究二维 SU(2)$_k$ 规范场论。
• 通过局部基变换对平面元算符实现解析对角化，从而实现实时演化的精确 Trotter 分解。
• 利用受控的高维量子比特门构建可扩展的量子算法，将其分解为使用辅助量子比特的单-与双高维量子比特基本门。
• 利用 $F$-矩阵耦合系数与量子群不变量，计算平面元与电能算符的矩阵元。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否 $q$-形变科古特-苏斯金德规范场论能够对非阿贝尔规范场论中的无限维希尔伯特空间实现受控正则化？
• RQ2 当 $k\to\infty$ 时，$q$-形变理论的极限是否重现标准 SU(2) 科古特-苏斯金德模型？
• RQ3 张量网络方法是否能在有限 $k=\mathcal{O}(10)$ 时实现与连续物理量的定量一致？
• RQ4 是否能够对平面元相互作用实现解析对角化，从而实现高效量子算法以进行实时演化？
• RQ5 所得到的量子算法是否可分解为使用辅助高维量子比特的可扩展、适合 NISQ 设备的门序列？

主要发现

• 通过精确的单平面元计算验证，$q$-形变科古特-苏斯金德模型在 $k\to\infty$ 极限下收敛至标准 SU(2) 科古特-苏斯金德理论。
• 变分 iPEPS 模拟显示，在 $k=\mathcal{O}(10)$ 时，基态能量密度与连续极限结果具有定量一致性，表明已可达到连续极限。
• 通过在自旋网络寄存器上进行局部基变换，对平面元算符实现了解析对角化，从而实现了实时演化过程的精确 Trotter 分解。
• 实时演化的量子算法具有可扩展性，其分解最多包含 $(k+1)^4$ 个多受控高维量子比特门，每个门可进一步通过单个辅助高维量子比特分解为 $2n+1$ 个基本纠缠门。
• 该门分解与当前离子阱量子计算架构兼容，可在近期 NISQ 设备上实现。
• 哈密顿量的矩阵元通过 $F$-符号耦合系数与量子群不变量计算，得到了能量密度的闭式表达式。