[论文解读] Quantum approximate algorithm for NP optimization problems with constraints

Yue Ruan, S. Marsh+4 more|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 18被引用 10

一句话总结

该论文提出了一种广义的约束编码框架，用于量子近似优化算法（QAOA），以求解具有线性等式、线性不等式和任意约束的NP优化问题。通过构建对称、正则或星图结构的混合哈密顿量（$ \hat{B}$），该方法在变分过程中确保可行解被保留，相较于基于惩罚项或$ \hat{C}$-修改的方法，在小规模问题实例上表现出更优的解质量。

ABSTRACT

The Quantum Approximate Optimization Algorithm (QAOA) is an algorithmic framework for finding approximate solutions to combinatorial optimization problems, derived from an approximation to the Quantum Adiabatic Algorithm (QAA). In solving combinatorial optimization problems with constraints in the context of QAOA or QAA, one needs to find a way to encode problem constraints into the scheme. In this paper, we formalize different constraint types to linear equalities, linear inequalities, and arbitrary form. Based on this, we propose constraint-encoding schemes well-fitting into the QAOA framework for solving NP combinatorial optimization problems. The implemented algorithms demonstrate the effectiveness and efficiency of the proposed scheme by the testing results of varied instances of some well-known NP optimization problems. We argue that our work leads to a generalized framework for finding, in the context of QAOA, high-quality approximate solutions to combinatorial problems with various types of constraints.

研究动机与目标

• 为解决在QAOA中引入约束时避免使用降低性能的惩罚项的挑战。
• 将约束分类为三类：线性等式、线性不等式和任意约束，以实现系统化的编码。
• 在QAOA框架内开发一种广义、灵活且高效的约束编码方案，以保持可行解子空间。
• 证明对称、正则或星图结构的$ \hat{B}$算符相较于现有方法能产生更高质量的近似解。
• 在图划分和3-SAT等基准NP问题上验证该方法，展示其在可行性和解质量方面的改进。

提出的方法

• 将约束分类为三类：线性等式、线性不等式和任意约束，以实现定制化的编码策略。
• 为线性约束提出基于正则或近似正则图的$ \hat{B}$算符，其中边连接汉明距离为1或2的可行解。
• 为任意约束引入星图算符，以一个可行解为中心，连接所有其他可行解，确保可行子空间的完全连通性。
• 利用$ \hat{B}$的邻接图表示来定义混合哈密顿量，确保$[\n\hat{B}, H_{ \text{constraint}}] = 0$，并在演化过程中保持可行子空间。
• 通过$ \hat{B}$约束搜索空间，避免在$ \hat{C}$中使用惩罚项，从而减小希尔伯特空间大小并提升解质量。
• 采用标准QAOA变分框架，交替使用$ \hat{U}_B(\beta)$和$ \hat{U}_C(\gamma)$酉操作，通过优化$ \vec{\beta}, \vec{\gamma}$以最大化$\langle \n\hat{C} \rangle$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否开发一个统一框架，将线性等式、线性不等式和任意约束这三类约束类型系统地编码到QAOA框架中？
• RQ2 将约束编码在混合哈密顿量$ \hat{B}$中而非问题哈密顿量$ \hat{C}$中，对解质量与可行性有何影响？
• RQ3 哪些$ \hat{B}$的结构特性（如正则性或对称性）有助于提升QAOA在约束优化中的性能？
• RQ4 在$ \hat{B}$中使用星图或正则图结构是否能产生比标准方法或基于惩罚项的方法更高质量的近似解？
• RQ5 通过$ \hat{B}$对子空间进行限制，在小规模NP问题上在多大程度上提升了QAOA的性能？

主要发现

• 所提出的基于结构化$ \hat{B}$算符（正则图或星图）的约束编码方案，产生的近似解质量优于基于惩罚项的方法或$ \hat{C}$-修改方案。
• 对于线性约束，$ \hat{B}$算符被构造为汉明距离为1或2的可行解之间跃迁的总和，形成正则或近似正则图。
• 星图算符通过将所有可行解连接到一个中心初始解，有效编码了任意约束，确保了可行子空间的完全连通性。
• 结果表明，通过$ \hat{B}$将搜索限制在更小的可行子空间，能显著提升解质量，相较于修改$ \hat{C}$，表现为测量到低质量解的概率更低。
• 该方法在整个QAOA演化过程中保持了可行性，避免了可能扭曲能级分布并降低性能的惩罚项。
• 在图划分和3-SAT等小规模实例上进行的实证测试（$p=3$）表明，该方案在小规模问题上具有有效性与高效性。