[论文解读] Quantum Computational Complexity

John Watrous|ArXiv.org|Apr 21, 2008

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 6

一句话总结

本文对量子计算复杂性进行了全面综述，在量子线路模型中建立了 BQP、QMA 和 QIP 等基础概念。它分析了多项式时间量子计算、量子证明和互动证明系统的能力，揭示出 BQP 和 QMA 等量子复杂性类能够捕捉由量子计算机高效求解或验证的问题，关键结果展示了它们与经典类的关系，以及图同构问题属于 BQP 的开放问题。

ABSTRACT

This article surveys quantum computational complexity, with a focus on three fundamental notions: polynomial-time quantum computations, the efficient verification of quantum proofs, and quantum interactive proof systems. Properties of quantum complexity classes based on these notions, such as BQP, QMA, and QIP, are presented. Other topics in quantum complexity, including quantum advice, space-bounded quantum computation, and bounded-depth quantum circuits, are also discussed.

研究动机与目标

• 对量子计算复杂性的核心概念进行形式化并加以综述，包括多项式时间量子计算、量子证明和量子互动证明系统。
• 阐明量子线路模型作为定义量子复杂性类的主要框架的作用。
• 考察量子复杂性类（例如 BQP、QMA、QIP）与经典复杂性类（例如 P、NP、PSPACE）之间的关系。
• 识别并突出量子复杂性中的开放问题，例如 NP 是否包含于 BQP，以及多证明者量子互动证明系统的能力。
• 探讨有界深度和有界空间的量子电路的计算能力，及其对复杂性类层次结构的影响。

提出的方法

• 使用量子线路模型定义量子复杂性类，其中量子门通过酉操作作用于量子比特并进行测量。
• 将 BQP 定义为可通过具有有界误差的量子计算机在多项式时间内求解的判定问题类。
• 将 QMA 定义为可通过高效验证量子证明（即量子“见证”）来验证的问题类，类似于具有经典证明的 NP。
• 引入 QIP 作为可通过涉及量子验证者和一个或多个量子证明者的量子互动证明系统求解的问题类。
• 分析有界深度量子电路（例如 QNC）及其计算能力，表明即使恒定深度的电路也能达到一般多项式大小电路的计算难度。
• 利用预言机分离和电路复杂性结果，研究量子与经典复杂性类之间的关系，例如 BQP 与 PH 的关系，以及 NP 与 BQP 的关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 多项式时间量子计算的计算能力是什么？它与经典多项式时间计算相比如何？
• RQ2 量子证明（量子“见证”）能否高效验证计算问题的解？QMA 类在此过程中扮演什么角色？
• RQ3 量子互动证明系统（QIP）有多强大？它与经典互动证明系统之间有何关系？
• RQ4 图同构问题是否属于 BQP？其补集能否通过 QMA 中的量子证明被验证？
• RQ5 有界深度量子电路（QNC）与有界空间量子计算之间的关系是什么？它们在计算上是否等价？

主要发现

• BQP 捕获了可在有界误差下由量子计算机在多项式时间内求解的判定问题类，且普遍认为其严格大于 BPP。
• QMA 是 NP 的量子类比，其中“是”实例可通过使用量子证明（即量子态）高效验证，它捕捉了诸如验证图非同构性等问题的复杂性。
• 量子互动证明系统（QIP）非常强大：QIP = PSPACE，表明量子交互可捕获经典有界空间计算的全部能力。
• 即使恒定深度的量子电路也能计算出与一般多项式大小电路一样困难的接受概率，表明其尽管深度有限，仍具有极强的计算能力。
• Shor 的因数分解算法可在对数深度内实现，辅以经典预处理和后处理，表明因数分解属于带经典帮助的 QNC。
• 即使将量子线路可区分性问题限制在对数深度电路中，其仍为 QIP 完全问题，表明有界深度量子电路在计算上并非平凡。