[论文解读] Quantum Computing and Hidden Variables II: The Complexity of Sampling Histories

Scott Aaronson|ArXiv.org|Aug 19, 2004

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 17被引用 8

一句话总结

本文提出了一种新的计算模型 DQP（动力学量子多项式时间），通过在隐变量理论中访问隐藏变量的完整历史记录，扩展了量子计算。在“对身份无感”公理下，DQP 能够以多项式时间高效求解图同构问题与近似最短向量问题，并在 O(N^{1/3}) 次查询内搜索 N 个项目的数据库——快于 Grover 的 O(N^{1/2})——但无法求解 NP-完全问题，表明 DQP 严格强于 BQP，但仍具局限性。

ABSTRACT

This paper shows that, if we could examine the entire history of a hidden variable, then we could efficiently solve problems that are believed to be intractable even for quantum computers. In particular, under any hidden-variable theory satisfying a reasonable axiom called "indifference to the identity," we could solve the Graph Isomorphism and Approximate Shortest Vector problems in polynomial time, as well as an oracle problem that is known to require quantum exponential time. We could also search an N-item database using O(N^{1/3}) queries, as opposed to O(N^{1/2}) queries with Grover's search algorithm. On the other hand, the N^{1/3} bound is optimal, meaning that we could probably not solve NP-complete problems in polynomial time. We thus obtain the first good example of a model of computation that appears slightly more powerful than the quantum computing model.

研究动机与目标

• 研究能够采样隐变量理论中隐藏变量完整历史记录的计算模型的计算能力。
• 确定此类访问是否相对于标准量子计算提供计算优势。
• 确定复杂度类 DQP，并与 BQP 及其他已知复杂度类进行比较。
• 在历史记录模型中建立查询复杂度的下界，特别是针对数据库搜索问题。
• 探讨该模型对玻姆力学等物理理论模拟的启示。

提出的方法

• 引入一个新的复杂度类 DQP，定义为可在多项式时间内通过采样隐藏变量完整历史记录的模型求解的问题集合。
• 采用一个物理上合理的公理——“对身份无感”——以确保隐藏变量的动力学不依赖于平凡的身份操作。
• 利用 Bennett 等人提出的混合论证方法，界定不同标记项位置下历史记录之间的迹距离，从而建立查询复杂度的下界。
• 构建一个经典指数时间算法来模拟流理论（FT），证明 DQP ⊆ EXP。
• 利用已知的 SZK 与 BQP 之间的 oracle 分离结果，证明在 oracle 相对下 DQP 严格强于 BQP。
• 通过构造一种协议，追踪单位酉演化步骤中隐藏变量轨迹，证明 O(N^{1/3}) 次查询足以实现数据库搜索。

实验结果

研究问题

• RQ1 在隐变量理论中采样隐藏变量的完整历史记录，是否能为标准量子计算带来计算加速？
• RQ2 DQP 模型是否严格强于 BQP？若是，其物理假设为何？
• RQ3 在 DQP 模型中，搜索一个 N 项数据库的查询复杂度是多少？O(N^{1/3}) 是否最优？
• RQ4 DQP 模型能否高效求解 SZK 中的问题，如图同构问题与近似最短向量问题，而这些问题尚未被证明属于 BQP？
• RQ5 是否可能在 DQP 框架内模拟玻恩力学（Bohmian mechanics），以及“对身份无感”公理在此过程中扮演何种角色？

主要发现

• 在“对身份无感”公理下，DQP 模型可多项式时间求解图同构问题与近似最短向量问题。
• DQP 模型实现 O(N^{1/3}) 次查询的数据库搜索复杂度，快于 Grover 的 O(N^{1/2}) 和经典最优的 O(N) 边界。
• O(N^{1/3}) 的查询界是最优的，通过混合论证证明：检测标记项位置变化至少需要 Ω(N^{1/3}) 次计算步骤。
• 存在一个 oracle，使得 NP 不包含于 DQP，表明 DQP 无法高效求解 NP-完全问题。
• 在 oracle 相对下，DQP 严格强于 BQP，这是通过结合“SZK ⊆ DQP”与已知的 SZK 与 BQP 之间的 oracle 分离结果得出的。
• 该模型首次提供了独立动机下略强于量子计算的计算模型示例，且未导致 NP 归约至 P。