[论文解读] Quantum Computing Discrete Logarithms with the Help of a Preprocessed State

Wim van Dam|ArXiv.org|Nov 20, 2003

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文提出了一种确定性量子算法，用于通过预处理的“chi态”求解离散对数问题——即在循环群 G 上的一种特殊叠加态。通过利用两个量子寄存器、两次傅里叶变换，以及通过受控除法操作实现的相位回授机制，该算法在多项式时间内以零误差计算离散对数，当 chi 态在多个查询间复用时，其量子比特数和门操作数均优于 Shor 算法。

ABSTRACT

An alternative quantum algorithm for the discrete logarithm problem is presented. The algorithm uses two quantum registers and two Fourier transforms whereas Shor's algorithm requires three registers and four Fourier transforms. A crucial ingredient of the algorithm is a quantum state that needs to be constructed before we can perform the computation. After one copy of this state is created, the algorithm can be executed arbitrarily many times.

研究动机与目标

• 开发一种比 Shor 算法更高效的离散对数问题量子算法。
• 减少精确计算离散对数所需量子寄存器和傅里叶变换的数量。
• 通过预计算一种特殊量子态（'chi 态'）实现确定性计算，该态可无限复用。
• 通过避免幅值放大（通常在 Shor 算法的精确版本中需要），简化算法。
• 证明 chi 态可高效制备并复制，从而支持在多个计算间共享使用。

提出的方法

• 使用概率但高效的制备过程，预计算 'chi 态' |χ⟩ = 1/√m ∑_{r=0}^{m-1} ζ_m^r |g^r⟩，其中 ζ_m = e^{2πi/m}。
• 利用受控除法算子 D_x 实现乘法相位回授：D_x |α⟩|χ⟩ ↦ ζ_m^{αp} |α⟩|χ⟩，其中 p = log_g(x)。
• 对第一个寄存器在 ℤ/mℤ 上应用量子傅里叶变换（QFT），将离散对数编码于计算基中。
• 对第一个寄存器执行逆 QFT，使态坍缩为 |log_g(x)⟩，从而以确定性方式揭示离散对数。
• 利用 chi 态可被保留并复制的特性（通过 D^1 实现），使其可在多个离散对数查询间复用。
• 使用半经典傅里叶变换，将第一个寄存器缩减为单个量子比特，以最小化量子比特开销，代价是增加额外测量。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过预计算一种特殊量子态，使离散对数问题的求解所需量子资源少于 Shor 算法？
• RQ2 是否可能在不依赖幅值放大的前提下实现确定性解法？
• RQ3 在量子算法中，如何将相位回授机制从加法群结构适配至乘法群结构？
• RQ4 为多个离散对数实例准备并复用 'chi 态' 的计算成本是多少？
• RQ5 能否通过利用群的结构及 chi 态的特性，减少傅里叶变换和量子比特的数量？

主要发现

• 该算法仅需两个量子寄存器和两次在 ℤ/mℤ 上的傅里叶变换，相比 Shor 算法的三寄存器、四次傅里叶变换设计，显著降低了资源开销。
• chi 态 |χ⟩ 可在期望时间 poly(log m) 内以零错误概率制备，且可无额外成本复制。
• 当 QFT 和 chi 态被精确实现时，该算法可确定性地（概率为 1）计算离散对数 p = log_g(x)。
• 通过 D_x 实现的相位回授机制会引入相位 ζ_m^{αp}，从而将离散对数 p 编码于傅里叶变换后的态中。
• chi 态可无限复用，使得在对同一群 G 求解多个离散对数实例时，该算法尤其高效。
• 通过使用半经典傅里叶变换，第一个寄存器可缩减为单个量子比特，仅需 log m 次测量，少于标准半经典方法中的 2 log m 次测量。