[论文解读] Quantum D-modules for toric nef complete intersections

Étienne Mann, Thierry Mignon|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2011

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 28被引用 4

一句话总结

该论文通过镜像对称导出的GKZ系统商式，构建了射影空间中森线丛完备交的量子D-模的环境部分。证明了射影空间中扭曲量子D-模是循环的，并给出了定义完备交Z的环境量子D-模的显式微分方程组。

ABSTRACT

On a smooth projective variety with k ample line bundles, we denote by Z the complete intersection subvariety defined by generic sections. We define the twisted quantum D-module which is a vector bundle with a flat connection, a flat pairing and a natural integrable structure. An appropriate quotient of it is isomorphic to the ambient part of the quantum D-module of Z. When the variety is toric, these quantum D-modules are cyclic. The twisted quantum D-module can be presented via mirror symmetry by the GKZ system associated to the total space of the dual of the direct sum of these line bundles. A question is to know what is the system of equations that define the ambiant part of the quantum D-module of Z. We construct this system as a quotient ideal of the GKZ system. We also state and prove the non-equivariant twisted Gromov-Witten axioms in the appendix.

研究动机与目标

• 在具有k个非常线丛的光滑射影代数簇上定义扭曲量子D-模。
• 将完备交Z的量子D-模的环境部分识别为扭曲量子D-模的商式。
• 在射影空间设定下，构建定义Z的环境量子D-模的微分方程组。
• 建立射影空间设定下量子D-模的循环性。
• 通过GKZ系统提供环境量子D-模的镜像对称表示。

提出的方法

• 使用k个非常线丛的直和的对偶的总空间来定义GKZ系统。
• 应用镜像对称将扭曲量子D-模与GKZ系统关联。
• 将Z的环境量子D-模构造为GKZ系统的商理想。
• 利用平坦联络和平坦配对来定义量子D-模结构。
• 利用量子D-模的可积结构确保一致性。
• 在附录中严格陈述并证明了非等变扭曲格罗莫夫-威滕公理，以支持框架的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何代数地描述射影空间中森线丛完备交Z的环境部分的量子D-模？
• RQ2 在射影空间设定下，定义Z的环境量子D-模的微分方程组是什么？
• RQ3 射影空间上扭曲量子D-模如何通过镜像对称与GKZ系统关联？
• RQ4 射影空间中森线丛完备交的量子D-模是否为循环的？
• RQ5 直和的对偶线丛在构建量子D-模中起什么作用？

主要发现

• Z的环境部分的量子D-模同构于扭曲量子D-模的商式。
• 射影空间上扭曲量子D-模是循环的。
• Z的环境量子D-模被表示为与非常线丛直和的对偶相关的GKZ系统的商理想。
• 定义Z的环境量子D-模的方程组被显式构造为GKZ系统的商式。
• 非等变扭曲格罗莫夫-威滕公理由附录中严格陈述并证明，支持了框架的一致性。