[论文解读] Quantum difference equation for Nakajima varieties

Andreĭ Okounkov, Andrey S. Smirnov|arXiv (Cornell University)|Feb 29, 2016

Algebraic structures and combinatorial models被引用 6

一句话总结

本文通过在Pic(X)⊗ℂ中的周期性超平面排列的基本群丛中引入等变K理论中的量子动力Weyl群作用，为Nakajima箭图概形构造了量子差分方程。关键结果将该丛的格点部分与量子差分算子相联系，将量子微分方程推广至K理论，并将其与Hilbert概形中的R-矩阵和单值性联系起来。

ABSTRACT

For an arbitrary Nakajima quiver variety $X$, we construct an analog of the quantum dynamical Weyl group acting in its equivariant K-theory. The correct generalization of the Weyl group here is the fundamental groupoid of a certain periodic locally finite hyperplane arrangement in $Pic(X)\otimes {\mathbb{C}}$. We identify the lattice part of this groupoid with the operators of quantum difference equation for $X$. The cases of quivers of finite and affine type are illustrated by explicit examples.

研究动机与目标

• 将量子微分方程从上同调推广至Nakajima箭图概形的等变K理论。
• 通过Pic(X)⊗ℂ中的周期性超平面排列的基本群丛，在K理论中构造量子动力Weyl群作用。
• 将该群丛的格点部分与作用于K理论上的量子差分算子相联系。
• 通过稳定基，建立这些算子与循环箭图概形的R-矩阵之间的联系。
• 证明单值算子B_w(z)代表Hilb^n(ℂ²)的量子微分方程奇点处的单连通群。

提出的方法

• 作者在等变K理论中定义稳定包络以构造墙穿越算子和R-矩阵。
• 引入量子环代数𝒰_ℏ(ĝ_Q)及其墙子代数𝒰_ℏ(𝔤_w)，以模拟量子群作用。
• 将量子差分算子M_L(z)构造为稳定包络与R-矩阵的复合。
• 将动力算子B_w(λ)定义为z→∞时M_L(z)的极限，以编码单值数据。
• 在混合稳定基中显式计算B_w(z)的矩阵，表明其与等变参数a=t₁/t₂无关，仅依赖于z和ℏ=t₁t₂。
• 将算子B_w(z)识别为循环箭图概形的K理论R-矩阵，从而将其与辛对偶性和Hilbert概形联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将上同调中的量子微分方程提升为Nakajima箭图概形在等变K理论中的量子差分方程？
• RQ2 K理论中Weyl群作用的正确推广是什么？它与Pic(X)⊗ℂ中超平面排列有何关系？
• RQ3 量子差分算子如何从量子环代数及其墙子代数的表示理论中产生？
• RQ4 稳定基和R-矩阵在实现量子动力Weyl群中的作用是什么？
• RQ5 Hilb^n(ℂ²)的量子微分方程的单值性如何与算子B_w(z)相关？

主要发现

• 通过Pic(X)⊗ℂ中周期性超平面排列的基本群丛，为Nakajima概形构造了量子差分方程，该构造推广了Weyl群。
• 该群丛的格点部分恰好对应于作用于等变K理论上的量子差分算子。
• 算子B_w(z)被证明与等变参数a=t₁/t₂无关，仅依赖于z和ℏ=t₁t₂。
• 在混合稳定基中，B_w(z)的矩阵与d(w)个顶点的循环箭图概形的K理论R-矩阵完全一致。
• 极限B_w = lim_{z→∞} B_w(z)实现了Hilb^n(ℂ²)的量子微分方程在奇点周围的单值性。
• 该构造在Fock空间中通过算子B_w给出了单连通群π₁(ℙ¹∖{奇点})的表示。