[论文解读] Quantum field theory of a free massless (pseudo)scalar field in 1+1-dimensional space-time as a test for the massless Thirring model

M. Faber, A. N. Ivanov|ArXiv.org|Jun 27, 2002

Quantum Mechanics and Applications参考文献 4被引用 8

一句话总结

本文通过证明当Wightman的可观测量被限制在$χ_0(ℝ^2)$中的测试函数（排除零模）时，从无质量Thirring模型费米子化得到的无质量（伪）标量场的量子场论是良好定义的，从而解决了Coleman定理与1+1维量子场论中Goldstone玻色子存在的矛盾。此选择消除了红外发散，保持了自发对称性破缺，并允许非零的自发磁化，调和了公理化、电流代数和路径积分方法之间的矛盾。

ABSTRACT

We analyse different approaches to the description of the quantum field theory of a free massless (pseudo)scalar field defined in 1+1-dimensional space-time which describes the bosonized version of the massless Thirring model. These are (i) axiomatic quantum field theory, (ii) current algebra and (iii) path-integral. We show that the quantum field theory of a free massless (pseudo)scalar field defined on the class of Schwartz's test functions S_0(R^2) connects all these approaches. This quantum field theory is well-defined within the framework of Wightman's axioms and Wightman's positive definiteness condition. The physical meaning of the definition of Wightman's observables on the class of test functions from S_0(R^2) instead of S(R^2), as required by Wightman's axioms, is the irrelevance of the collective zero-mode related to the collective motion of the ``center of mass'' of the free massless (pseudo)scalar field, which can be deleted from the intermediate states of correlation functions (Eur. Phys. J. C 24, 653 (2002)). In such a theory the continuous symmetry, induced by shifts of the massless (pseudo)scalar field, is spontaneously broken and there is a non-vanishing spontaneous magnetization. The obtained results are discussed in connection with Coleman's theorem asserting the absence of Goldstone bosons and spontaneously broken continuous symmetry in quantum field theories defined in 1+1-dimensional space-time.

研究动机与目标

• 解决Coleman定理与1+1维量子场论中Goldstone玻色子存在性之间的明显矛盾。
• 证明当Wightman的可观测量被限制在$χ_0(ℝ^2)$中的测试函数（排除零模）时，自由无质量（伪）标量场的量子场论是良好定义的。
• 在无质量Thirring模型及其玻色化版本的背景下，调和公理化量子场论、电流代数和路径积分方法。
• 证明自发对称性破缺与非零自发磁化与无质量Goldstone玻色子的存在性是一致的，前提是排除零模。

提出的方法

• 使用来自$χ_0(ℝ^2)$的测试函数（满足$\tilde{h}(0) = 0$）对Wightman公理和正定性条件进行形式分析。
• 在动量空间中评估Wightman函数$D^{(+)}(x-y;\mu)$，表明当$\tilde{h}(0) = 0$时，红外发散消失。
• 使用光锥变量$k_+, k_-$将范数$||h||^2$表示为对$k_+$的积分，当$\tilde{h}(k_+,0) = 0$时该积分变为有限。
• 应用柯西-施瓦茨不等式分析关联函数中的中间态，表明可排除零模贡献而不影响物理演化。
• 比较公理化QFT、电流代数和路径积分方法的结果，表明当限制在$χ_0(ℝ^2)$时，结果具有一致性。
• 证明无质量Thirring模型的玻色化版本表现出自发手征对称性破缺，具有非零费米子凝聚，与自发磁化$χ = 1$相关。

实验结果

研究问题

• RQ1 在1+1维中，尽管存在红外发散，自由无质量（伪）标量场理论是否能在Wightman公理体系下一致定义？
• RQ2 通过使用$χ_0(ℝ^2)$测试函数排除零模，是否能解决Coleman定理与自发对称性破缺之间的矛盾？
• RQ3 当红外发散被消除时，公理化、电流代数和路径积分方法在无质量Thirring模型的玻色化版本中如何调和？
• RQ4 在$χ_0(ℝ^2)$而非$χ(ℝ^2)$上定义Wightman可观测量的物理意义是什么？
• RQ5 在1+1维中，自发磁化$χ = 1$是否与Goldstone玻色子的缺失相容？

主要发现

• 当可观测量定义在$χ_0(ℝ^2)$上时，自由无质量（伪）标量场的量子场论在Wightman公理体系下是良好定义的，因为范数$||h||^2$中的红外发散由于$\tilde{h}(0) = 0$而消失。
• 使用$χ_0(ℝ^2)$的物理解释是与质心运动相关的集体零模无关，该零模可从关联函数的中间态中排除。
• 连续平移对称性$\vartheta(x) \to \vartheta(x) + \alpha$发生自发破缺，导致非零自发磁化$χ = 1$。
• 该理论在$χ_0(ℝ^2)$上满足Wightman的正定性条件，解决了Wightman曾据此断言1+1维中不存在此类场的不一致。
• 当排除零模时，Coleman关于Goldstone玻色子的论证失效，因其依赖于$\tilde{h}(0) \neq 0$的假设，而该假设在$χ_0(ℝ^2)$中被违反。
• 无质量Thirring模型在手征对称性破缺相的玻色化版本可由该理论一致描述，非零费米子凝聚源于$χ = 1$。