[论文解读] Quantum groups with projection and extensions of locally compact quantum groups

Paweł Kasprzak, Piotr M. Sołtan|arXiv (Cornell University)|Dec 2, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 24被引用 6

一句话总结

本文刻画了具有投影的局部紧量子群（建模为非交换半直积）在何时也是Vainerman与Vaes定义意义下的扩张。通过共对偶性与共理想的概念，作者表明此类量子群通常并非扩张，其关键条件是辫子量子群分量的交换性。该结果通过U_q(2)与量子'az+b'群等例子加以说明。

ABSTRACT

The main result of the paper is the characterization of those locally compact quantum groups with projection, i.e. non-commutative analogs of semidirect products, which are extensions as defined by L. Vainerman and S. Vaes. It turns out that quantum groups with projection are usually not extensions. We discuss several examples including the quantum $\mathrm{U}_q(2)$. The major tool used to obtain these results is the co-duality for coideals in algebras of functions on locally compact quantum groups and the concept of a normal coideal.

研究动机与目标

• 确定具有投影的局部紧量子群在何种精确条件下是Vainerman与Vaes所定义的扩张。
• 澄清具有投影的量子群概念与局部紧量子群理论中扩张概念之间的关系。
• 研究在具有投影的量子群中出现的辫子量子群结构是否满足作为扩张框架中真正量子群的要求。
• 利用代数工具对具有投影的量子群为扩张的情形进行完整刻画。
• 通过具体例子（包括U_q(2)与量子'az+b'群）分析，确定其在何种情况下可被视为扩张。

提出的方法

• 利用函数代数中对共理想的共对偶性，该工具源自先前工作，用于将共理想与量子子群关联起来。
• 引入并分析正规与强正规共理想的概念，以刻画具有投影的量子群的代数结构。
• 应用酉反极与伸展群，研究共理想的不变性性质，将其与量子群中的对偶性与对称性联系起来。
• 在冯诺依曼代数框架下表示量子群及其对偶，均作用于同一希尔伯特空间L²(G)，从而可使用模共轭J与ŴJ。
• 利用GNS构造与冯诺依曼代数的模理论，定义并分析模共轭与酉反极。
• 应用量子群与其对偶之间的对偶性，分析子代数的交换性，特别是辫子量子群的固定点代数与投影的群代数之间的交换性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有投影的局部紧量子群也是Vainerman与Vaes意义下的扩张？
• RQ2 在具有投影的量子群中出现的辫子量子群结构是否始终是扩张框架下真正的量子群？
• RQ3 当变形参数q为何值时，量子群U_q(2)是圆群T的扩张？
• RQ4 量子'az+b'群在何种情况下是其乘法子群Γ_q的扩张？
• RQ5 固定点子代数（同构于SU_q(2)）与T的群代数之间的交换性在决定U_q(2)是否为扩张中起何作用？

主要发现

• 具有投影的量子群是扩张，当且仅当其固定点子代数（同构于SU_q(2)）与投影的群代数（L∞(T)）在U_q(2)的全函数代数中彼此交换。
• 量子群U_q(2)是T的扩张，当且仅当变形参数q为实数，这等价于SU_q(2)为紧致量子群。
• 对于量子'az+b'群，其为Γ_q扩张的条件是且仅是q = 1，即当群为经典群时。
• 与具有投影的量子群相关的辫子量子群仅在q = 1时为真正的量子群，意味着该结构在一般情况下并非量子群。
• 即使在具有投影的量子群中缺失正规子群，仍存在具有称为‘正规性’性质的共理想，表明存在一种较弱但相关的结构。
• 成为扩张的主要障碍是固定点子代数与投影的群代数之间的非交换性，这在U_q(2)中对非实数q不成立。