[论文解读] Quantum homeopathy works: Efficient unitary designs with a system-size independent number of non-Clifford gates

Jonas Haferkamp, Felipe Montealegre‐Mora+4 more|arXiv (Cornell University)|Feb 21, 2020

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 24

一句话总结

该论文表明，通过将这些门注入到多项式深度的随机 Clifford 电路中，仅需 $O(t^{4}"log^{2}(t)"log(1/ackslashvarepsilon))$ 个非 Clifford 门，即可构建出高效的近似酉 $t$-设计，且该数量与系统尺寸无关。关键结果是，非 Clifford 门的密度可渐近趋于零，从而实现高阶 $t$-设计的可扩展实现，且资源开销极小。

ABSTRACT

Many quantum information protocols require the implementation of random unitaries. Because it takes exponential resources to produce Haar-random unitaries drawn from the full $n$-qubit group, one often resorts to $t$-designs. Unitary $t$-designs mimic the Haar-measure up to $t$-th moments. It is known that Clifford operations can implement at most $3$-designs. In this work, we quantify the non-Clifford resources required to break this barrier. We find that it suffices to inject $O(t^{4}\log^{2}(t)\log(1/\varepsilon))$ many non-Clifford gates into a polynomial-depth random Clifford circuit to obtain an $\varepsilon$-approximate $t$-design. Strikingly, the number of non-Clifford gates required is independent of the system size -- asymptotically, the density of non-Clifford gates is allowed to tend to zero. We also derive novel bounds on the convergence time of random Clifford circuits to the $t$-th moment of the uniform distribution on the Clifford group. Our proofs exploit a recently developed variant of Schur-Weyl duality for the Clifford group, as well as bounds on restricted spectral gaps of averaging operators.

研究动机与目标

• 确定在超越 Clifford 限制之外构造近似 $t$-设计所需的最少非 Clifford 门数量。
• 解决在高阶酉 $t$-设计中实现量子信息协议时的可扩展性挑战。
• 确立所需非 Clifford 门的数量与系统尺寸无关，从而实现渐近稀疏的资源使用。
• 推导随机 Clifford 电路收敛至 Clifford 群分布第 $t$ 阶矩的紧致收敛时间界限。

提出的方法

• 利用近期为 Clifford 群量身定制的 Schur-Weyl 对偶变体，分析矩匹配特性。
• 使用对平均算子受限谱间隙的界限，量化随机 Clifford 电路的收敛速率。
• 分析将 $O(t^{4}\log^{2}(t)\log(1\varepsilon))$ 个非 Clifford 门注入到多项式深度 Clifford 电路的影响。
• 证明此类构造即使在系统尺寸增大时，仍能生成 $\varepsilon$-近似 $t$-设计。
• 应用表示论工具，刻画 Clifford 电路在对称子空间上的作用。
• 确立非 Clifford 门数量仅依赖于 $t$ 和 $\varepsilon$，而与量子比特数量无关。

实验结果

研究问题

• RQ1 在超越 Clifford 群的 3-设计限制之外，实现 $\varepsilon$-近似 $t$-设计所需的最少非 Clifford 门数量是多少？
• RQ2 是否可以使非 Clifford 门数量与系统尺寸无关，同时仍能实现高阶 $t$-设计？
• RQ3 随机 Clifford 电路收敛至 Clifford 群均匀分布第 $t$ 阶矩的速度有多快？
• RQ4 平均算子的谱间隙在 Clifford 电路收敛至 $t$-设计的过程中起什么作用？
• RQ5 如何将 Schur-Weyl 对偶性适配至 Clifford 群，以分析量子电路中的矩匹配？

主要发现

• 构建 $\varepsilon$-近似 $t$-设计所需的非 Clifford 门数量为 $O(t^{4}\log^{2}(t)\log(1/\varepsilon))$，与系统尺寸无关。
• 这意味着随着系统尺寸增大，非 Clifford 门的密度可渐近趋于零，从而实现可扩展的实现。
• 随机 Clifford 电路收敛至 Clifford 群分布第 $t$ 阶矩的时间受相应平均算子谱间隙的限制。
• 使用为 Clifford 群优化的精细 Schur-Weyl 对偶性，可精确刻画量子电路中的矩匹配特性。
• 尽管缺乏完整的哈尓随机性，该构造仍以 $t$ 和 $\varepsilon$ 的多对数资源开销实现了高阶 $t$-设计。
• 研究结果确立了一种新范式——'量子稀释疗法'，即极少量的非 Clifford 资源可实现最大化的设计性能。