[论文解读] Quantum Information Theory and Free Semialgebraic Geometry: One Wonderland Through Two Looking Glasses

Gemma De las Cuevas, Tim Netzer|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2021

Quantum Mechanics and Applications参考文献 49被引用 4

一句话总结

本文通过揭示两个领域在张量积空间中对非交换正性和凸性的互补研究视角，建立了量子信息理论与自由半代数几何之间的深刻联系。它表明，来自一个领域的洞见——如量子关联、可分性及张量网络正性——可转化为自由半代数几何时的几何表征，反之亦然，从而产生新的计算与概念工具，包括对无限尺寸平移不变系统的不可判定性结果。

ABSTRACT

We illustrate how quantum information theory and free (i.e. noncommutative) semialgebraic geometry often study similar objects from different perspectives. We give examples in the context of positivity and separability, quantum magic squares, quantum correlations in non-local games, and positivity in tensor networks, and we show the benefits of combining the two perspectives. This paper is an invitation to consider the intersection of the two fields, and should be accessible for researchers from either field.

研究动机与目标

• 通过识别非交换正性和凸性中共享的数学结构，弥合量子信息理论与自由半代数几何之间的鸿沟。
• 证明量子信息问题（如可分性、量子关联及张量网络正性）可被重新表述为自由半代数集中的几何问题。
• 展示自由半代数几何中的几何工具可为量子信息问题提供新洞见，包括对无限系统不可判定性的结果。
• 通过使这些联系对两个领域研究人员都易于理解，促进跨学科合作。

提出的方法

• 使用自由（非交换）半代数几何的框架，将张量积空间中的正性和凸性研究为几何对象。
• 将量子信息概念（如半正定矩阵、POVMs 和量子魔术方阵）与自由半代数构造（如自由凸包和算子系统）进行比较。
• 应用基于矩的逼近方法，通过低阶迹数来界定矩阵到半正定锥的距离。
• 将张量网络中的问题简化为非交换正性问题，利用矩阵可消亡性问题证明平移不变系统正性问题的不可判定性。
• 将非局部游戏中量子关联的表述形式化为自由独立性模型的自由凸包中的成员资格问题。
• 利用扩张定理和不变分解方法，分析在群作用下张量积空间中的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子信息理论与自由半代数几何在处理相同数学对象（如张量积中的半正定矩阵）时，有何不同方法？
• RQ2 自由半代数几何中的几何表征能否改进对非局部游戏中量子关联的分析？
• RQ3 非交换性在决定张量网络中正性可判定性（特别是在平移不变情形下）中起什么作用？
• RQ4 如何利用低次多项式基于矩的逼近方法来估计矩阵到半正定锥的距离？
• RQ5 自由PVMs的凸包在多大程度上能恢复POVMs的集合？这对量子测量理论有何含义？

主要发现

• 当 d, r ≥ 7 时，判断平移不变张量网络态 τₙ(ρ) 对所有 n ∈ ℕ 是否为半正定的问题是不可判定的。
• 在非局部游戏中可实现的量子关联集合对应于自由独立性模型的自由凸包的成员资格，提供了几何表征。
• 对于固定的 n，可通过低阶矩 tr(ρᵏ) 和正部函数 f(x) = max(x,0) 的多项式逼近，来界定张量网络态 ρ 到半正定锥的距离。
• 对 f(x) 的平方和逼近方法使得即使在无法进行完整对角化的情况下，也能通过半正定规划高效计算边界。
• 任何POVM向PVM的扩张，对应于PVM集合的自由凸包等于所有POVM的集合，该结果在非交换设定下成立。
• 张量积空间中不变分解的框架不仅适用于量子系统，还可推广至具有正性约束的多元对称多项式。