[论文解读] Quantum-inspired classical algorithms for principal component analysis and supervised clustering.

Ewin Tang|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 62

一句话总结

本文提出了主成分分析和监督聚类的经典算法，其效率与Lloyd等人提出的量子算法相当。通过假设对数据实现高效的$β^2$-范数采样，经典算法在输入规模上实现了对数多边形时间复杂度，与量子加速的渐近复杂度一致，仅存在多项式级的延迟，表明这些问题不存在指数级量子优势。

ABSTRACT

We describe classical analogues to Lloyd et al.'s quantum algorithms for principal component analysis and nearest-centroid clustering. We introduce a classical algorithm model that assumes we can efficiently perform $\ell^2$-norm samples of input data, a natural analogue to quantum algorithms assuming efficient state preparation. In this model, our classical algorithms run in time polylogarithmic in input size, matching the runtime of the quantum algorithms with only polynomial slowdown. These algorithms indicate that their corresponding problems do not yield exponential quantum speedups.

研究动机与目标

• 开发主成分分析和最近质心聚类的量子算法经典对应版本。
• 确定这些问题的量子加速是指数级还是仅多项式级。
• 形式化一种基于高效$β^2$-范数采样的经典计算模型，类似于量子态制备。
• 证明经典算法的运行时间与量子版本的对数多边形缩放一致，仅存在多项式延迟。

提出的方法

• 该算法模型假设能够高效地对输入数据向量进行$β^2$-范数采样，类似于量子算法中对量子态制备的假设。
• 经典算法使用迭代采样和估计技术，在无需完整访问数据的前提下近似计算奇异向量和质心。
• 该方法利用随机投影和方差缩减技术，以高精度估计主成分和聚类质心。
• 运行时间分析表明，算法在输入规模上的复杂度为对数多边形，与量子算法的渐近效率一致。
• 该框架通过依赖采样估计关键分量，避免了显式矩阵求逆或完整SVD计算。
• 该模型确保经典算法在渐近复杂度上与量子对应算法保持一致，仅存在多项式因子的差异。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典算法能否在主成分分析问题上实现与量子算法相当的运行时间复杂度？
• RQ2 PCA和聚类问题的量子加速本质上是指数级还是仅多项式级？
• RQ3 何种经典计算模型能够实现对量子算法原语（如态制备）的高效模拟？
• RQ4 这些量子算法所解决的问题是否能实现相对于经典方法的指数级加速？
• RQ5 $β^2$-范数采样在实现线性代数运算的高效经典计算中起到何种作用？

主要发现

• 经典算法的运行时间在输入规模上为对数多边形，与量子算法的渐近效率一致。
• 经典方法与量子算法的复杂度仅存在多项式延迟，表明不存在指数级量子优势。
• 将$β^2$-范数采样作为原原子，可实现对量子算法步骤的高效经典模拟。
• 结果表明，主成分分析和最近质心聚类问题不产生指数级量子加速。
• 该框架表明，基于量子启发的经典算法在合理的采样假设下，可复现量子算法的效率。