[论文解读] Quantum Interior Point Methods for Semidefinite Optimization

Brandon Augustino, Giacomo Nannicini+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2021

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 74被引用 4

一句话总结

本文提出了两种用于半定规划（SDO）的量子内点法（QIPMs），利用了量子线性系统算法。第一种方法在不保证可行性的情况下计算非精确的搜索方向；第二种方法采用零空间表示，即使在搜索方向非精确时也能确保可行性，从而支持混合量子-经典实现。在标准假设下，两种方案均能实现最优解的多项式收敛，其中第二种方案在问题维度 $ n $ 上实现了量子加速，尽管在其他参数上的依赖性更差。

ABSTRACT

We present two quantum interior point methods for semidefinite optimization problems, building on recent advances in quantum linear system algorithms. The first scheme, more similar to a classical solution algorithm, computes an inexact search direction and is not guaranteed to explore only feasible points; the second scheme uses a nullspace representation of the Newton linear system to ensure feasibility even with inexact search directions. The second is a novel scheme that might seem impractical in the classical world, but it is well-suited for a hybrid quantum-classical setting. We show that both schemes converge to an optimal solution of the semidefinite optimization problem under standard assumptions. By comparing the theoretical performance of classical and quantum interior point methods with respect to various input parameters, we show that our second scheme obtains a speedup over classical algorithms in terms of the dimension of the problem $n$, but has worse dependence on other numerical parameters.

研究动机与目标

• 开发能够加速半定规划（SDO）的量子算法，SDO 是凸优化中的基础问题，具有广泛的应用。
• 利用近期在量子线性系统求解器方面的进展，将经典内点法（IPMs）扩展到量子领域。
• 设计一种新颖的量子方案，即使在搜索方向计算存在非精确性时也能确保迭代解的可行性，从而支持实际的混合量子-经典实现。
• 分析所提出的量子 IPM 的理论复杂度，并与经典方法进行比较。
• 在标准内点法假设下，建立两种量子方案的多项式收敛性。

提出的方法

• 第一种方案，非精确-可行 QIPM（IF-QIPM），使用量子线性系统算法计算非精确的搜索方向，类似于经典 IPM，但在迭代过程中不强制保证可行性。
• 第二种方案，非精确-不可行 QIPM（II-QIPM），采用牛顿系统的零空间表示，将非精确方向投影到可行空间中，从而即使存在近似误差也能确保迭代解的可行性。
• II-QIPM 使用块编码技术表示牛顿系统，并应用量子幅度估计算法（量子层析）从量子态中提取解的分量。
• 这些算法依赖于误差受参数 $ \gamma_1, \gamma_2 $ 控制的量子线性系统求解器，确保在标准 IPM 假设下的收敛性。
• 牛顿系统经过对称化处理，并通过利用低秩结构和条件数 $ \kappa $ 的量子算法求解，其复杂度取决于 $ n $、$ \mu_0 $ 和 $ \epsilon $。
• 通过量子误差估计和矩阵范数不等式，对对偶间隙和不可行性进行有界分析，从而证明收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子算法能否在半定规划的内点法上实现对经典内点法的加速？
• RQ2 是否可以设计一种量子 IPM，即使在搜索方向的量子计算存在非精确性时，也能保持迭代解的可行性？
• RQ3 量子内点法在 SDO 上的理论复杂度是多少？与经典算法相比，其在问题维度 $ n $ 和条件数 $ \kappa $ 上的表现如何？
• RQ4 牛顿系统的零空间表示是否能在混合量子-经典架构上有效实现，以确保可行性？
• RQ5 在 $ n $ 上实现量子加速与在 $ \kappa $、$ \mu_0 $ 和 $ \epsilon $ 等其他参数上的依赖性变差之间存在何种权衡？

主要发现

• II-QIPM 在问题维度 $ n $ 上实现了量子加速，复杂度为 $ \mathcal{O}(\sqrt{n}) $，而经典方法为 $ \mathcal{O}(n) $，在标准假设下成立。
• IF-QIPM 和 II-QIPM 均能在多项式时间内收敛至 $ \epsilon $-最优解，收敛速率依赖于 $ \theta_k $、$ \mu_0 $ 和 $ \kappa $。
• II-QIPM 通过使用零空间表示，即使在搜索方向非精确时也能确保迭代解的可行性，这是一种新颖的方法，非常适合混合量子-经典计算。
• 在 $ n $ 上的量子加速以其他参数依赖性变差为代价：II-QIPM 的依赖性为 $ \mathcal{O}(\kappa^2) $，比经典算法更差。
• 对偶间隙被有界为 $ \mathcal{O}(n\theta_k\mu_0) $，不可行性通过误差项 $ \delta $ 和 $ \beta $ 控制，二者均被证明为 $ \mathcal{O}(n^2\theta_k\mu_0) $。
• 分析表明，量子幅度估计算法和块编码技术可用于从量子态中以有界误差提取解，从而支持可证明收敛的量子 IPM 的设计。