[论文解读] Quantum Kostka and the rank one problem for $\mathfrak{sl}_{2m}$

Natalie Hobson|arXiv (Cornell University)|Aug 27, 2015

Advanced Mathematical Identities参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文建立了关于 $\mathfrak{sl}_{2m}$ 伴随表示中具有矩形权的共形块向量丛在 $\overline{\mathcal{M}}_{0,n}$ 上的秩为 0、1 或大于 1 的显式必要且充分条件。通过运用 Witten 对应关系以及利用杨表计算的 Kostka 数，证明了秩为一的丛的第一陈类生成的锥是有限生成的，从而解决了 $\mathfrak{sl}_{2m}$ 的秩一问题的一个特例，并通过对偶性将结果推广至辛李代数。

ABSTRACT

We give necessary and sufficient conditions to specify vector bundles of conformal blocks for $\mathfrak{sl}_{2m}$ with rectangular weights which have ranks zero, one, and larger than one. First Chern classes of rank one bundles are shown to determine a finitely generated subcone of the nef cone.

研究动机与目标

• 确定具有矩形权的共形块丛 $V(\mathfrak{sl}_{2m}, \vec{\lambda}, \ell)$ 的秩为 0、1 或大于 1 的必要且充分条件。
• 证明由秩一丛的第一陈类生成的锥 $C(S)$ 是有限生成的。
• 通过垂直缩放和对偶性将 $\mathfrak{sl}_2$ 的结果推广至 $\mathfrak{sl}_{2m}$，并利用秩对偶性将其与辛李代数联系起来。
• 在 Witten 对应关系框架下，提供一个利用杨表和 Kostka 数计算秩的显式算法。

提出的方法

• 应用 Witten 对应关系，将 $V(\mathfrak{sl}_{2m}, \vec{\lambda}, \ell)$ 的秩与格拉斯曼流形上经典或量子乘积中某类施普伦格类的系数关联起来。
• 利用 Kostka 数通过计数指定形状与内容的半标准杨表来计算秩。
• 定义权内容与最大权内容，以区分秩为 1 或大于 1 的情形。
• 引入一个缩放命题（命题 2.3），表明 $\operatorname{rank}(V_m) = 1$ 当且仅当 $\operatorname{rank}(V_1) = 1$，且满足 $c_1(V_m) = m c_1(V_1)$。
• 通过将每个秩一丛的 $c_1(V)$ 表示为一级除子的有效线性组合（定理 1.3），证明锥 $C(S)$ 的有限生成性。
• 利用垂直缩放和奇异对偶性将 $\mathfrak{sl}_2$ 的结果推广至 $\mathfrak{sl}_{2m}$，并应用对偶性获得 $\mathfrak{sp}_{2\ell}$ 在一级时的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于矩形权 $\vec{\lambda} = (c_1\omega_m, \dots, c_n\omega_m)$，何时共形块丛 $V(\mathfrak{sl}_{2m}, \vec{\lambda}, \ell)$ 的秩为 0、1 或大于 1？
• RQ2 由秩一共形块丛的第一陈类生成的子锥 $C(S)$ 是否是 $\operatorname{Nef}(\overline{\mathcal{M}}_{0,n})$ 中的有限生成锥？
• RQ3 共形块丛的秩与陈类是否具有垂直缩放性质，且该性质是否在 $\mathfrak{sl}_{2m}$ 上保持秩一性？
• RQ4 通过双对偶与缩放，$V(\mathfrak{sl}_{2m}, \vec{\lambda}, \ell)$ 的秩与 $V(\mathfrak{sl}_2, \vec{\lambda}', 1)$ 的秩有何关系？
• RQ5 能否通过双对偶性将结果推广至辛李代数 $\mathfrak{sp}_{2\ell}$ 在一级时的情形？

主要发现

• 当且仅当 $\Lambda < p$ 时，$V(\mathfrak{sl}_{2m}, (c_1\omega_m, \dots, c_n\omega_m), \ell)$ 的秩为 0，其中 $\Lambda = \sum_{i=2k+2}^n c_i$，且 $p$ 是满足 $\sum c_i = 2(k\ell + p)$ 的整数，且 $1 \leq p \leq \ell$，$k \geq 0$。
• 当且仅当 $\Lambda = p$ 或 $\Lambda > p$ 且权内容为最大时（如定义 2.5 所定义），秩为 1。
• 当且仅当 $\Lambda > p$ 且权内容非最大时，秩大于 1。
• 由秩一丛的第一陈类生成的锥 $C(S)$ 是有限生成的，因为每个此类类均可表示为一级除子的有效线性组合。
• 对于具有矩形权的 $\mathfrak{sl}_{2m}$，缩放性质 $c_1(V_m) = m c_1(V_1)$ 成立，且当 $\operatorname{rank}(V_1) = 1$ 时必有 $\operatorname{rank}(V_m) = 1$。
• 通过双对偶性，$\mathfrak{sp}_{2\ell}$ 在一级时也适用相同的秩条件：$\operatorname{rank}(V(\mathfrak{sp}_{2\ell}, \vec{\lambda}^T, 1)) = \operatorname{rank}(V(\mathfrak{sl}_2, \vec{\lambda}, \ell))$。