[论文解读] Conformal blocks divisors on $\bar{M}_{0,n}$ from $sl_2$

Valery Alexeev, Angela Gibney+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 22被引用 9

一句话总结

本文研究了在模空间 $\overline{M}_{0,n}$ 上由 $\mathfrak{sl}_2$ 的 conformal blocks 生成的一族半ample除子，其所有权值均为一，且水平数 $\ell$ 可变。结果表明，这些除子位于对称 nef 锥的边界上，定义了双有理收缩映射，并实现了到 Satake 紧化、GIT 商空间以及 Hassett 加权稳定曲线的几何映射，同时给出了其类与 $F$-曲线相交数的显式公式。

ABSTRACT

We study a family of semiample divisors on $\bar{M}_{0,n}$ defined using conformal blocks and analyze their associated morphisms.

研究动机与目标

• 分析由 $\mathfrak{sl}_2$ 生成、所有权值为一的 $\overline{M}_{0,n}$ 上 conformal block 除子的几何与数值性质。
• 确定这些除子在 $\overline{M}_{0,n}$ 的 nef 锥中的位置，特别是其在对称商空间 $\overline{M}_{0,n}/S_n$ 中的位置。
• 描述与这些除子相关的映射，并识别其几何解释，包括到阿贝尔簇模空间和 GIT 商空间的映射。
• 提供这些除子类及其与 $F$-曲线相交数的显式公式，从而实现对 nefness 和半ample 性的组合验证。

提出的方法

• 作者利用 Verlinde 公式和 Fakhruddin 的递推公式，计算了 $\mathfrak{sl}_2$ 在水平数 $\ell$ 且所有基本权值均为一的情况下，$\overline{M}_{0,n}$ 上 conformal block bundles 的第一陈类。
• 通过旗映射将结果与 $\overline{M}_{2(g+1)}$ 上的除子关联，推导出除子类 $\mathbb{D}^{\mathfrak{sl}_2}_{\ell,(1,\ldots,1)}$ 的闭式表达，其形式为边界除子 $\delta_J$ 与霍奇类 $\lambda$ 的线性组合。
• 应用 Keel 和 McKernan 的 Ray 定理及其由 Farkas 和 Gibney 扩展的形式，通过验证与所有 $F$-曲线的非负相交数来确认 nefness。
• 对于水平数 $\ell = g-1$ 和 $\ell = g$，通过在 $\overline{M}_{2(g+1)}$ 上的除子上添加一个 nef 除子 $\mathcal{D}$ 来构造扰动，以确保 $F$-nefness，从而保证 nefness。
• 利用旗映射 $f: \overline{M}_{0,n} \to \overline{M}_{2(g+1)}$ 下除子的拉回由边界除子 $B_j$ 的线性组合给出，从而实现 $\mathbb{D}^{\mathfrak{sl}_2}_{\ell,(1,\ldots,1)}$ 类的显式计算。
• 验证了由这些除子定义的映射通过 Hassett 的约化映射 $\rho_A: \overline{M}_{0,n} \to \overline{M}_{0,A}$ 因子分解，其中 $A = (1/(\cdots$

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\overline{M}_{0,n}$ 的对称 nef 锥中，conformal block 除子 $\mathbb{D}^{\mathfrak{sl}_2}_{\ell,(1,\ldots,1)}$ 的位置在哪里？它们位于边界上还是内部？
• RQ2 这些除子定义了哪些几何映射？它们与已知模空间（如 Satake 紧化或 GIT 商空间）有何关系？
• RQ3 这些除子的类能否用 $\overline{M}_{0,n}$ 上的边界除子与霍奇类表示为闭式？
• RQ4 水平数为 $\ell = g-1$ 和 $\ell = g$ 的除子是否定义了到 GIT 商空间 $(\mathbb{P}^1)^n // \mathrm{SL}_2$ 的映射？若是，其与旗映射有何关系？
• RQ5 是否存在一个组合准则来确认这些除子的 nefness？若否，则需要何种替代方法？

主要发现

• 对于 $\ell = 1,2,g-1,g$，除子 $\mathbb{D}^{\mathfrak{sl}_2}_{\ell,(1,\ldots,1)}$ 位于对称 nef 锥 $\operatorname{Nef}(\overline{M}_{0,n}/S_n)$ 的边界上，并定义了 $\overline{M}_{0,n}/S_n$ 的双有理收缩映射。
• 除子 $\mathbb{D}^{\mathfrak{sl}_2}_{1,(1,\ldots,1)}$ 定义了一个到 $g$ 维阿贝尔簇模空间 Satake 紧化的映射。
• 除子 $\mathbb{D}^{\mathfrak{sl}_2}_{g,(1,\ldots,1)}$ 定义了一个到 GIT 商空间 $(\mathbb{P}^1)^n // \mathrm{SL}_2$ 的映射，而 $\mathbb{D}^{\mathfrak{sl}_2}_{g-1,(1,\ldots,1)}$ 映射到该商空间的一个自然推广的翻转（generalized flip）。
• 每个 $\ell \leq g-1$ 的除子 $\mathbb{D}^{\mathfrak{sl}_2}_{\ell,(1,\ldots,1)}$ 所关联的映射均通过 Hassett 的约化映射 $\rho_A: \overline{M}_{0,n} \to \overline{M}_{0,A}$ 因子分解，其中 $A = (1/(\cdots$