[论文解读] Quantum locally linear embedding for nonlinear dimensionality reduction

Xi He, Li Sun+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 17, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 36被引用 4

一句话总结

本文提出两种基于量子计算的非线性降维量子算法——基于线性代数的QLLE与变分QLLE（VQLLE）。基于线性代数的QLLE通过利用量子线性代数子程序，在时间复杂度上相比经典LLE实现了指数级加速；而VQLLE则通过混合量子-经典变分方法，实现了在近期量子设备上的可实施性，两者在数值实验中均表现出对流形结构的有效保持。

ABSTRACT

Reducing the dimension of nonlinear data is crucial in data processing and visualization. The locally linear embedding algorithm (LLE) is specifically a representative nonlinear dimensionality reduction method with well maintaining the original manifold structure. In this paper, we present two implementations of the quantum locally linear embedding algorithm (QLLE) to perform the nonlinear dimensionality reduction on quantum devices. One implementation, the linear-algebra-based QLLE algorithm, utilizes quantum linear algebra subroutines to reduce the dimension of the given data. The other implementation, the variational quantum locally linear embedding algorithm (VQLLE) utilizes a variational hybrid quantum-classical procedure to acquire the low-dimensional data. The classical LLE algorithm requires polynomial time complexity of $N$, where $N$ is the global number of the original high-dimensional data. Compared with the classical LLE, the linear-algebra-based QLLE achieves quadratic speedup in the number and dimension of the given data. The VQLLE can be implemented on the near term quantum devices in two different designs. In addition, the numerical experiments are presented to demonstrate that the two implementations in our work can achieve the procedure of locally linear embedding.

研究动机与目标

• 为解决经典局部线性嵌入（LLE）在高维非线性数据中的计算瓶颈，开发量子替代方案。
• 通过量子算法实现在非线性降维中的量子加速。
• 设计一种适用于近期含噪声中等规模量子（NISQ）设备的变分量子-经典方法（VQLLE）。
• 在使用量子增强LLE进行降维过程中，保持数据的内在流形结构。
• 通过数值实验验证量子LLE实现的可行性和性能。

提出的方法

• 提出基于线性代数的QLLE，利用量子线性代数子程序在O(poly(log N))时间内求解LLE优化问题，相比经典LLE的O(poly(N))复杂度实现指数级加速。
• 在预处理阶段采用量子k-NN算法，实现数据规模上的二次加速。
• 设计一种变分量子-经典流程用于VQLLE，利用参数化量子线路优化低维嵌入。
• 提出两种VQLLE变体：端到端与基于矩阵乘法的版本，均针对NISQ时代量子硬件进行优化。
• 采用拉格朗日优化方法推导权重矩阵W与嵌入矩阵Y，将LLE代价函数重构成约束特征值问题。
• 应用量子相位估计算法与量子奇异值变换技术，高效求解通用量子计算机上LLE算法的线性代数组件。

实验结果

研究问题

• RQ1 与经典LLE相比，量子算法能否在非线性降维中实现显著加速？
• RQ2 如何将LLE算法适配于近期量子设备，以应对有限的量子比特相干时间与电路深度限制？
• RQ3 在保持数据流形结构方面，通用量子算法（QLLE）与变分混合方法（VQLLE）之间的性能权衡如何？
• RQ4 量子增强的k-NN搜索能否提升QLLE预处理阶段的效率？
• RQ5 VQLLE中不同参数化量子线路设计对最终低维嵌入质量有何影响？

主要发现

• 基于线性代数的QLLE相比经典LLE在时间复杂度上实现指数级加速，从O(poly(N))降低至O(poly(log N))。
• VQLLE可通过变分混合量子-经典框架在近期量子设备上实现，符合当前硬件约束。
• 数值实验表明，两种QLLE实现均能成功执行局部线性嵌入，并有效保持数据的内在流形结构。
• 在数值评估中，VQLLE变体在全局结构保持方面优于基于线性代数的QLLE。
• 量子k-NN子程序在QLLE预处理阶段识别最近邻时实现了二次加速。