[论文解读] Quantum Lower Bound for Approximate Counting Via Laurent Polynomials

Scott Aaronson, Kothari, Robin+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 7, 2018

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 49被引用 11

一句话总结

本文在同时具备量子成员查询和对集合 S⊆[N] 的均匀叠加 |S⟩ 访问的条件下，建立了近似计数的量子下界。通过将经典多项式法推广至包含负幂次项的洛朗多项式（Laurent polynomials）——即允许负次幂的多项式——证明了任何量子算法必须进行 Ω(√(N/|S|)) 次查询或 Ω(min{|S|^{1/4}, √(N/|S|)}) 次 |S⟩ 的拷贝，从而表明在黑箱模型中，QSampling 并不蕴含高效的近似计数。

ABSTRACT

We study quantum algorithms that are given access to trusted and untrusted quantum witnesses. We establish strong limitations of such algorithms, via new techniques based on Laurent polynomials (i.e., polynomials with positive and negative integer exponents). Specifically, we resolve the complexity of approximate counting, the problem of multiplicatively estimating the size of a nonempty set S ⊆ [N], in two natural generalizations of quantum query complexity. Our first result holds in the standard Quantum Merlin - Arthur (QMA) setting, in which a quantum algorithm receives an untrusted quantum witness. We show that, if the algorithm makes T quantum queries to S, and also receives an (untrusted) m-qubit quantum witness, then either m = Ω(|S|) or T = Ω(√{N/|S|}). This is optimal, matching the straightforward protocols where the witness is either empty, or specifies all the elements of S. As a corollary, this resolves the open problem of giving an oracle separation between SBP, the complexity class that captures approximate counting, and QMA. In our second result, we ask what if, in addition to a membership oracle for S, a quantum algorithm is also given "QSamples" - i.e., copies of the state |S⟩ = 1/√|S| ∑_{i ∈ S} |i⟩ - or even access to a unitary transformation that enables QSampling? We show that, even then, the algorithm needs either Θ(√{N/|S|}) queries or else Θ(min{|S|^{1/3},√{N/|S|}}) QSamples or accesses to the unitary. Our lower bounds in both settings make essential use of Laurent polynomials, but in different ways.

研究动机与目标

• 解决量子采样（QSampling）与成员查询联合使用是否能实现高效的量子近似计数的问题。
• 建立量子近似计数所需联合资源（查询与 |S⟩ 拷贝）的紧致下界。
• 开发一种新方法——洛朗多项式法，用于分析具有叠加访问能力的量子算法。
• 证明即使同时拥有成员预言机和 |S⟩ 状态，量子算法在近似计数问题上也无法实现超过经典方法的二次加速。

提出的方法

• 将经典多项式法推广至洛朗多项式，后者可包含 |S| 的负幂次项，以建模具有 |S⟩ 访问能力的量子算法的接受概率。
• 将量子算法的平均接受概率建模为 |S| 的洛朗多项式，以捕捉成员查询与 |S⟩ 拷贝的双重影响。
• 应用洛朗多项式次数的下界，结合实多项式性质与逼近理论，推导出查询复杂度与拷贝复杂度之间的权衡关系。
• 采用受 Zhandry（2017）启发的混合论证方法，将问题简化为仅下界估计 |S⟩ 拷贝数量，通过比较混合态 ρ_{L,w,k} 与 ρ_{L,2w,k} 的迹距离实现。
• 利用 BBBV 定理（量子搜索的查询下界）证明：当预言机被限制在更大的集合 U 上时，区分大小为 w 与 2w 的集合需要 Ω(√(N/L)) 次查询。
• 将洛朗多项式法与迹距离分析相结合，推导出在区分 |S|=w 与 |S|=2w 时，查询复杂度与拷贝复杂度之间的权衡关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 量子采样（QSampling）与成员查询联合使用能否实现高效的量子近似计数？
• RQ2 在量子近似计数中，成员查询数量与 |S⟩ 拷贝数量之间最优的权衡关系是什么？
• RQ3 多项式法能否被扩展以处理洛朗多项式，从而在具有叠加访问的设置中证明下界？
• RQ4 当同时具备查询与 |S⟩ 拷贝时，能否实现超过经典方法的二次加速？
• RQ5 在区分 |S| = w 与 |S| = (1+ε)w 时，最优依赖关系关于 ε 是怎样的？

主要发现

• 任何用于区分 |S| = w 与 |S| = 2w 的量子算法，必须进行 Ω(√(N/w)) 次成员查询，或 Ω(min{w^{1/4}, √(N/w)}) 次 |S⟩ 的拷贝。
• 当 |S| = w = N^{2/3} 时，下界变为 Ω(N^{1/6}) 次拷贝或查询，表明相对于经典方法最多仅有二次加速。
• 洛朗多项式法成功捕捉了具有叠加访问能力的量子算法的行为，将经典多项式法扩展至可处理 |S| 的负幂次项。
• 仅使用多项式法时，对拷贝复杂度的下界 Ω(w^{1/4}) 无法改进至 Ω(w^{1/3}) 以上，暗示存在根本性障碍。
• 混合论证将问题简化为仅需下界估计拷贝复杂度，表明更紧的下界需要超越多项式法的技术。
• 结果与已知的量子上界处于多项式因子范围内：O(√(N/w)) 次查询（无需拷贝）或 O(√w) 次拷贝（无需查询）。