[论文解读] Quantum Lower Bounds for Approximate Counting via Laurent Polynomials

Scott Aaronson, Robin Kothari+2 more|DROPS (Schloss Dagstuhl – Leibniz Center for Informatics)|Apr 18, 2019

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 12

一句话总结

本文利用洛朗多项式（Laurent polynomials）建立了近似计数问题的最优量子下界，证明在QMA设置下，要么量子证明态必须为Ω(|S|)量子比特，要么查询复杂度必须为Ω(√(N/|S|))。此外，即使在拥有QSamples或对QSampling的酉操作访问的情况下，相同的查询或样本复杂度下界依然成立，从而解决了SBP与QMA之间是否存在预言机分离的开放性问题。

ABSTRACT

We study quantum algorithms that are given access to trusted and untrusted quantum witnesses. We establish strong limitations of such algorithms, via new techniques based on Laurent polynomials (i.e., polynomials with positive and negative integer exponents). Specifically, we resolve the complexity of approximate counting, the problem of multiplicatively estimating the size of a nonempty set $S \subseteq [N]$, in two natural generalizations of quantum query complexity. Our first result holds in the standard Quantum Merlin--Arthur ($\mathsf{QMA}$) setting, in which a quantum algorithm receives an untrusted quantum witness. We show that, if the algorithm makes $T$ quantum queries to $S$, and also receives an (untrusted) $m$-qubit quantum witness, then either $m = Ω(|S|)$ or $T=Ω\bigl(\sqrt{N/\left| S ight| } \bigr)$. This is optimal, matching the straightforward protocols where the witness is either empty, or specifies all the elements of $S$. As a corollary, this resolves the open problem of giving an oracle separation between $\mathsf{SBP}$, the complexity class that captures approximate counting, and $\mathsf{QMA}$. In our second result, we ask what if, in addition to a membership oracle for $S$, a quantum algorithm is also given "QSamples" -- i.e., copies of the state $\left| S ight angle = \frac{1}{\sqrt{\left| S ight| }} \sum_{i\in S}|i angle$ -- or even access to a unitary transformation that enables QSampling? We show that, even then, the algorithm needs either $Θ\bigl(\sqrt{N/\left| S ight| }\bigr)$ queries or else $Θ\bigl(\min \bigl\{\left| S ight| ^{1/3}, \sqrt{N/\left| S ight| }\bigr\}\bigr)$ QSamples or accesses to the unitary. Our lower bounds in both settings make essential use of Laurent polynomials, but in different ways.

研究动机与目标

• 解决在QMA模型中近似计数的量子查询复杂度问题，其中量子算法接收一个不可信的量子证明态。
• 在QMA中建立近似计数问题中证明态大小与查询复杂度之间权衡的紧致下界。
• 研究在标准查询预言机之外，通过QSamples或对QSampling的酉操作访问，量子算法的计算能力。
• 开发并应用洛朗多项式技术作为在存在量子证明态或样本时证明量子下界的新方法。
• 通过新下界技术解决SBP是否与QMA存在预言机分离的开放问题。

提出的方法

• 使用洛朗多项式——即包含正负整数幂次的多项式——作为核心分析工具，用于证明存在量子证明态时的量子查询复杂度下界。
• 将洛朗多项式方法应用于QMA算法，通过分析表示接受概率的多项式之次数与结构，推导出下界。
• 采用对偶多项式方法与互补松弛性，构造显式的对偶解，以证明查询复杂度的下界。
• 引入“爆发论证”（explosion argument）以分析洛朗多项式在扰动下的行为，特别是在QSampling情境下的表现。
• 结合逼近论与对称多项式技术，限制多项式表示中单个变量的影响。
• 将分析扩展至QSamples设置，通过建模对|S⟩ = 1/√|S| Σ_{i∈S} |i⟩态的酉操作影响，证明了查询与样本复杂度的下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在QMA模型中，求解近似计数的量子算法在证明态大小与查询复杂度之间最优权衡为何？
• RQ2 洛朗多项式能否用于建立具有量子证明态或QSamples的量子算法的紧致下界？
• RQ3 是否存在SBP（捕捉近似计数的复杂度类）与QMA之间的预言机分离？
• RQ4 QSamples或对QSampling的酉操作访问如何影响近似计数的查询与样本复杂度？
• RQ5 将成员查询与对编码集合S的量子态的访问相结合的量子算法存在哪些局限性？

主要发现

• 在QMA模型中，任何求解近似计数的算法必须要么进行Ω(√(N/|S|))次查询，要么使用Ω(|S|)-量子比特的证明态，该结果为最优，与两种平凡协议完全匹配。
• 本文解决了SBP与QMA之间是否存在预言机分离的开放问题，证明了SBP在相对预言机下不被包含于QMA。
• 即使拥有QSamples或可实现QSampling的酉操作，算法仍需Θ(√(N/|S|))次查询，或Θ(min{|S|^{1/3}, √(N/|S|)})次QSamples或酉访问。
• 下界为紧致，与已知上界完全匹配，证明了现有带证明态或样本的近似计数量子算法的最优性。
• 洛朗多项式被证明在建立这些下界中至关重要，其在QMA与QSampling设置中具有不同应用。
• 分析揭示了证明态大小与查询次数之间的权衡，仅当其中任一资源足够大时，才能实现最优平衡。